Часть 2 Теория

на рисунке 3.1.3), то образовался бы "мешок", ограниченный отрез- ком dc и частью γ , в который не может войти γ с ростом t. По- следнее приводит к противоречию с предположением, что x – ω - предельная точка полутраектории γ .

Итак, если γ не является циклом, то последовательные точки пе- ресечения γ с nx сходятся к x . Но тогда из непрерывной зависимо- сти от начальных данных вытекает, что γ навивается на γ .

Теорема 3.1.2. Пусть некоторая полутраектория γ системы

(3.1.1) содержится в замкнутом ограниченном множестве G R2 , в котором нет точек покоя этой системы. Тогда эта полутраекто- рия либо является циклом, либо навивается на цикл системы (3.1.1)

при t → +∞.

предельная точка полутраектории γ . Если x γ , то по теореме 3.1.1 γ – цикл. Пусть x γ . Рассмотрим траекторию γ , проходящую че-

рез x . Эта траектория также ограничена (она содержится в G ) и по- тому множество ее ω -предельных точек не пусто. Пусть x – ω -

маль пересекается всеми траекториями системы

γ(3.1.1) вовнутрь "мешка", образованного отрезком

ac и частью траектории γ . Так как все точки траек- тории γ являются ω -предельными для γ , то γ бу- дет в какой-либо момент близка к точке c, и потому она попадет в

"мешок". Но тогда во все последующие моменты времени γ будет находиться внутри "мешка", и потому она не сможет больше прибли- зиться к точке a, которая также является ω -предельной для γ . Итак, x γ . Доказательство теоремы завершено.

Замечание 3.1.1. Все сформулированные выше утверждения остаются справедливыми, если в них заменить t на (-t) и ω - предельные точки на α -предельные.

дают ее (или входят в эту область при убывании t и не покидают ее при t → −∞). Такая область называется положительно (отрицатель- но) инвариантной для траекторий системы (рис. 3.1.6).

Лемма 3.1.2. Если внутри положительно (отрицательно) инва- риантной для траекторий системы (3.1.1) области нет состояний равновесия системы, то в этой области содержится по крайней мере один цикл системы (3.1.1).

Справедливость утверждений леммы 3.1.2 немедленно вытекает из теоремы 3.1.2 и замечания к ней.

Существование циклов у систем с единственным положением равновесия

Пусть x = 0– единственное состояние равновесия системы (3.1.1). Пусть все собственные значения матрицы Якоби:

рассматриваемая точка будет состоянием равновесия типа неустой-

чивый узел или неустойчивый фокус. В обоих случаях у системы

(3.1.1) нет траекторий, приближающихся к точке покоя при t → +∞. Значит состояние равновесия системы (3.1.1) не может быть ω - предельной точкой ни для одной ограниченной при t ³ 0 полутраек- тории этой системы.

Предположим, что система (3.1.1) является диссипативной. То- гда все ее положительные полутраектории ограничены. Из приведен- ных рассуждений и теоремы 3.1.2 вытекает справедливость следую- щего утверждения.

Теорема 3.1.3. Если все собственные значения матрицы Якоби J (x) системы (2.8.1) при x = 0 имеют положительные веществен-

ные части и система диссипативна, то она имеет по крайней мере один цикл.

Проиллюстрируем на примерах применение леммы 3.1.2 и теоре- мы 3.1.3 для доказательства существования циклов.

Пример 3.1.1. Доказать, что уравнение &x&+ (x2 + x&2 -1)x& + x = 0 имеет цикл.

нию "от центра", а вторую – по направлению "к центру". Значит в фа-

зовом пространстве рассматриваемой системы имеется положительно инвариантное кольцо (рис. 3.1.7). Согласно лемме 3.1.2, такая система имеет цикл.

На приведенном ниже рис. 3.1.8. изображен цикл системы (3.1.2), найденный путем численного интегрирования, а также траектории, навивающиеся на этот цикл при t → +∞ изнутри и снаружи.

Рис. 3.1.8.

Пример 3.1.2. Доказать, что уравнение

&x&+ [1 + (x - 2)e−x2 ]x& + x = 0

имеет цикл.

Отбросив в разложении функции e−x2 в ряд Тейлора члены, со-

держащие x в степени 2 и выше (e−x2 =1 - x2 + x4

2!

линеаризованное в точке x = 0 уравнение &x&− x& + x = 0. Оба корня со- ответствующего характеристического уравнения имеют положитель- ные вещественные части.

Перепишем исходное уравнение в виде &x&+ x& + x + + (x - 2)e−x2 x& = 0. Характеристический полином линейной части это-

при всех x (0, ∞) . Поэтому, по теореме 2.8.2, соответствующая дан-

ному уравнению система второго порядка является диссипативной. Значит, согласно теореме 3.1.3, рассматриваемое уравнение имеет пе- риодическое решение (цикл).

Пример 3.1.3. Доказать, что система

сипативна. Согласно теореме 3.1.3, рассматриваемая система имеет цикл.

3.2Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Неавтономные уравнения

Метод Пуанкаре предназначен для построения периодических решений нелинейных систем, дифференциальные уравнения которых содержат малый параметр μ. При этом предполагается, что обраще- ние в нуль малого параметра не понижает порядка системы.

Метод Пуанкаре базируется на двух положениях:

1)порождающая система, т.е. система, получающаяся из исход- ной при μ=0, содержит периодические решения с некоторым перио- дом, частным случаем которых могут быть постоянные величины;

2)периодические решения исходной системы строятся при по- мощи подбора начальных данных всех входящих в систему неиз- вестных функций.

Начнем с решения следующей задачи: требуется найти периоди- ческое решение периода T дифференциального уравнения:

x(t + T ) º x(t) Þ &x&(t) + ω 2 x(t) = f (t + T ), то есть функция f(t) обязана быть периодической с периодом T. Выполнив в (3.2.1) замену време-

То есть новая правая часть в новом времени будет 2π-периодической функцией. Поэтому правую часть уравнения (3.2.1) можно без огра- ничения общности считать 2π-периодической функцией.

Будем считать, что функция f(t) непрерывна и может быть разло-

жена в сходящийся ряд Фурье

Пользуясь принципом суперпозиции, частное решение уравнения (3.2.1) будем искать в виде ряда

Дифференцируя ряд (3.2.3) почленно два раза и подставляя в (3.2.1), получим:

Приравнивая в последней формуле коэффициенты при одинаковых гармониках слева и справа, будем иметь

Из предположения о непрерывности f(t) следует, что ряд (3.2.4) можно почленно дифференцировать. Поэтому ряд (3.2.4) есть реше-

ние уравнения (3.2.1), если только ω 2 ¹ k 2 ни для какого k. Если же число ω целое (ω = k ), то соответствующее слагаемое в правой ча- сти (3.2.4) обращается в ∞, и периодическое решение не существует.

Полученный результат можно было легко предугадать, если

являющееся периодическим.

Из приведенных рассуждений вытекает следующий вывод: если ω не является целым числом, а f(t) – 2π-периодическая функция, то уравнение (3.2.1) всегда имеет 2π- периодическое решение, доставля- емое формулой (3.2.4). Если же ω = k – целое число, то 2π- периоди- ческое решение уравнения (3.2.1) существует лишь в том случае, ко- гда в разложении функции f(t) в ряд Фурье отсутствуют "резонирую- щие члены" ak и bk, то есть если:

Если ω = k и выполнено условие (3.2.5), то уравнение (3.2.1) имеет бесконечное число 2π-периодических решений, которые даются фор- мулой:

Если же ω ¹ k ("k Î N) , то уравнение (3.2.1) имеет единственное пе-

x(t) (x(t) Î Rn ) этой системы разлагается в сходящийся при малых μ

Доказательство этой теоремы достаточно громоздко и здесь опущено.

Метод разложения решения по степеням малого параметра лежит в основе многих приемов исследования нелинейных колебаний с ма- лой нелинейностью.

Рассмотрим следующую задачу: найти периодическое решение

существует и нам известно. Считая, что функция F(t, x, x&) непрерыв-

на по t и является аналитической по переменным x и x&, на основании приведенной выше теоремы, будем искать решение уравнения (3.2.8) в виде ряда (3.2.7) .

Разложим функцию F(t, x, x&) в ряд по степеням (x − x0 ), (x& − x&0 )

Подставим в левую и правую части уравнения (3.2.8) вместо &x&, x& и x ряд (3.2.7) и его соответствующие производные, а вместо F(t, x, x&) выражение (3.2.10). Сравнивая коэффициенты при одинаковых сте- пенях μ в левой и правой частях полученного равенства, будем иметь:

Каждое следующее уравнение (3.2.11) будет содержать в правой ча- сти только известные функции, найденные из предыдущих уравне- ний. Поэтому все решения уравнений (3.2.11) могут быть последова- тельно найдены.

Если мы хотим найти 2π-периодическое решение уравнения (3.2.8), то все члены ряда (3.2.7) должны быть 2π-периодическими функциями. Значит каждое из уравнений (3.2.11) должно иметь 2π- периодическое решение. Выясним, когда эти условия выполняются.

1)ω ¹ n , где n – какое-либо целое число. Тогда 2π-периодическое решение у порождающего уравнения (3.2.9) и всех остальных