Часть 2 Теория

уравнений в (3.2.11) существует всегда. Все эти решения могут быть найдены так, как было описано выше.

2)ω = n, n N . Тогда порождающее уравнение (3.2.9) имеет пери- одическое решение лишь при условии равенства нулю коэффи- циентов an и bn в разложении функции f(t) в ряд Фурье, то есть

при выполнении условий:

Если условия (3.2.12) выполнены, то порождающее уравнение имеет решение:

x0 (t) = C10 cos nt + C20 sin nt + ϕ0 (t).

Для определения x1(t) имеем второе уравнение из (3.2.11). Оно будет иметь периодическое решение, если

Уравнения (3.2.13) содержат C10 ,C20 , которые, вообще говоря, определяются из этой системы. Если C10 ,C20 удовлетворяют системе (3.2.13), то все решения второго уравнения в (3.2.11) будут периоди-

При этом C11,C21 опять определяются из двух условий, аналогичных (3.2.12) и (3.2.13), для третьего уравнения из (3.2.11). И так далее.

Как мы видим, в случае 2) (резонансный случай), вообще говоря, не любому 2π-периодическому решению порождающего уравнения соответствует периодическое решение уравнения (3.2.8), задаваемое рядом (3.2.7), которое при μ → 0 сходится к решению порождающе- го уравнения. Существование подобного решение нужно доказать. Такое доказательство составляет содержание известной теоремы Пу- анкаре. Но это доказательство очень громоздко и здесь не приводит- ся.

Пример 3.2.2. Найти приближенно периодическое решение урав- нения:

&x&+ 2x = sin 2t + μ x&2 , где μ – малый параметр.

Решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра,

то есть в виде

x(t) = x0 (t) + μx1 (t) + μ 2 x2 (t) + L .

Тогда

x&(t) = x&0 (t) + μ&x&1 (t) + μ 2 x&2 (t) + L

&x&(t) = &x&0 (t) + μ&x&1 (t) + μ 2 &x&2 (t) + L

Подставим ряды в исходное уравнение

(&x&0 (t) + μ&x&1 (t) + μ 2 &x&2 (t) + L) + 2(x0 (t) + μx1 (t) + μ 2 x2 (t) + L) =

= sin 2t + μ(x&02 + μ 2 x&12 + μ 4 x&22 + 2μx&0 x&1 + 2μ 2 x&0 x&2 + 2μ 3 x&1x&2 + L)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра μ в левой и правой частях последнего равенства:

KKKKKK

Поскольку ω = 2 , порождающее уравнение имеет единственное пе- риодическое решение, которое будем искать в виде:

x0 = Asin 2t + B cos 2t .

После двукратного дифференцирования и подстановки в первое уравнение (3.2.15), получим:

- 4Asin 2t - 4B cos 2t + 2Asin 2t + 2B cos 2t = sin 2t Þ

Þ A = - 12 , B = 0 Þ x0 = - 12 sin 2t.

Для отыскания x1 имеем уравнение

&x&1 + 2x1 = cos2 2t = 12 (1 + cos 4t)

Будем искать x1 в виде:

x1 = M + N cos 4t + Lsin 4t

После двукратного дифференцирования и подстановки в уравнение получим:

-14N cos 4t -14L sin 4t + 2M = 12 + 12 cos 4t Þ N = - 281 , L = 0, M = 14 .

Итак, x1 = 14 - 281 cos 4t .

Подставим найденные функции x0 и x1 в правую часть последнего уравнения (3.2.15). Тогда оно примет вид

Будем искать решение последнего уравнения в виде

x2 = Asin 3t + B cos3t + C sin t + D cost .

После двукратного дифференцирования последнего выражения и подстановки в уравнение (3.2.16), находим

A = 491 , B = 0,C = - 17 , D = 0 Þ x2 = 491 sin 3t - 17 sin t.

Итак, справедливо приближенное равенство

x(t) » - 12 sin 2t + μ(14 - 281 cos 4t) + μ 2 (491 sin 3t - 17 sin t). (3.2.17)

Используя пакет Mathcad, сравним полученное решение (3.2.17) с точным решением исходного уравнения на периоде [0, 2π ]. Для этого найдем для решения (3.2.17) значения x(0) и x&(0) , после чего

найдем решение исходного уравнения с заданными начальными условиями, например, методом Рунге-Кутта. Результаты расчетов приведены ниже.

Пусть задано уравнение, правая часть которого не зависит явно

от t:

Отсутствие t в правой части приводит к усложнению задачи, так как период искомого решения оказывается неизвестным. Он будет, вооб- ще говоря, зависеть от параметра μ.

Для решения задачи в этом случае нужно преобразовать уравне- ние к новой независимой переменной так, чтобы по новой перемен- ной уравнение уже имело постоянный период, а уже затем искать ре- шение в виде ряда по параметру μ.

Предварительно выполним в (3.3.1) замену времени, положив t1 = ω t . Тогда в новом времени уравнение примет вид:

периодическое решение вида x(t1 ) = C cos(t1 − t0 ), удовлетворяющее

μ→ 0 . Пусть:

α(μ) = α1μ + α2 μ 2 + Lα n μ n + L.

Тогда:

Преобразуем уравнение (3.3.2) так, чтобы его решение x(t, μ) имело постоянный период 2π. Этого можно добиться заменой переменных:

0до 2π.

Вновых переменных уравнение (3.3.2) приобретает вид:

&x&+ (1 + h1μ + h2 μ 2 + Lhn μ n + L)2 x =

× F1 (x, (1 + h1μ + h2 μ 2 + Lhn μ n + L)−1 x&),

где все производные вычислены по переменной τ.

Периодическое решение уравнения (3.3.4) будем искать в виде

ряда

×(x0 (τ ) + μx1 (τ ) + μ 2 x2 (τ ) +L) =

=(μ + h1μ 2 + h2 μ 3 +L)F1[x, (1+ h1μ + h2 μ 2 +L)−1 ×

×(x&0 (τ ) + μx&1 (τ ) + μ 2 x&2 (τ ) +L)]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра μ в левой и правой частях последнего равенства, последовательно полу- чим:

LLLLLLLLLLLLLLL

Для того, чтобы второе уравнение в (3.3.6) имело периодическое ре- шение, необходимо и достаточно, чтобы в его правой части отсут- ствовали резонирующие члены, то есть чтобы выполнялись условия:

Первое из этих уравнений дает возможность найти С (начальное условие периодического решения), а второе – найти h1. Таким обра-

зом будет приближенно определен период искомого периодического решения:

2π +α(μ) ≈ 2π (1+ h1μ) .

Зная С и h1, можно определить x1 (τ ) и, если это необходимо,

x2 (τ ), x3 (τ ) и так далее.

Пример 3.3.1. Определить решения порождающего уравнения, к которым при μ → 0 приближаются периодические решения уравне-

Решения порождающего уравнения имеют вид x(t) = C cos(t − t0 ) .

Для определения искомых значений С воспользуемся первым из уравнений (3.3.7):

Þ C1 = 0,C2,3 = ±6.

При С=0 получаем тривиальное решение x ≡ 0 порождающего уравнения, которое остается решением уравнения (3.3.8) при любом

μ.

При C2,3 = ±6 получаем x = ±6 cos(t − t0 ).

Теорема Ляпунова и несколько практических замечаний

Теорема Ляпунова выделяет класс систем, у которых в некоторой окрестности состояния равновесия существует периодическое реше- ние и дает метод отыскания этого решения.

Теорема 3.3.1. Если уравнение &x&+ ω 2 x = f (x, x&) обладает анали-

порядка малости:

H (x, x&) = a11x2 + a12 xx& + a22 x&2 + L,

то все решения уравнения с достаточно малыми начальными услови- ями x(0) = c, x&(0) = 0 есть периодические функции t. Каждое такое

решение является аналитической функцией параметра с. Сформулированная теорема позволяет искать период периодиче-

ского решения уравнения

&x&+ ω 2 x = f (x, x&)

в виде

T= 2π (1+ ch1 + c2h2 + c3h3 +L)

ивводить новое время по формуле

Заметим, что если в уравнении не присутствует явно малый па-

раметр и при этом в окрестности состояния равновесия выполнены условия теоремы Ляпунова, то для поиска периодического решения

можно либо воспользоваться его разложимостью в ряд по начальным отклонениям с (формулой (3.3.10)), либо ввести малый параметр и использовать разложение по степеням малого параметра.

Пример 3.3.2. Найти приближенно периодическое решение урав-

Для решения задачи можно ввести малый параметр: x = μ y Þ μ &y& + μ y = μ 3 y3 Þ &y& + y = μ 2 y3 .

Здесь μ считаем малым. Теперь можно воспользоваться рассмотрен- ной выше процедурой отыскания решения уравнения с малым пара- метром.

Заметим, что уравнение Дуффинга обладает аналитическим пер- вым интегралом, для которого выполнены условия теоремы Ляпуно-

решать, выполнив замену переменных (3.3.9) и отыскивая решение в виде ряда (3.3.10) по степеням начального возмущения с.

Решение x(τ ) будем искать в виде ряда (3.3.10). После двукрат-

ного дифференцирования и подстановки этого ряда в уравнение

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с в обеих ча- стях последнего равенства, получим

A = 1, B = 0. Итак, x1 (τ ) = cosτ . Второе уравнение тогда примет вид

&x&2 + x2 = −2h1 cosτ .

Для того, чтобы это уравнение имело периодическое решение, в его правой части должны отсутствовать резонирующие члены. Это имеет

место лишь при h1 = 0. Таким образом, для x2 получаем уравнение &x&2 + x2 = 0, из которого, с учетом начальных условий (3.3.14), нахо-

дим x2 (τ ) ≡ 0.

Для x3 (τ ) получаем уравнение

&x&3 + x3 = -2h2 cosτ + cos3 τ .

Запишем условия отсутствия резонирующих членов в правой части этого уравнения:

2π

ò (-2h2 cosτ + cos3 τ ) cosτdτ = 0,

0

2π

ò (-2h2 cosτ + cos3 τ ) sinτdτ = 0.

0

Второе из выписанных соотношений всегда выполнено, а первое дает

условие

π (43 - 2h2 ) = 0 Þ h2 = 83.

Итак, x3 (τ ) следует искать из уравнения:

&x&3 + x3 = - 34 cosτ + cos3 τ = - 14 cos 3τ.

Отыскивая 2π-периодическое решение этого уравнения, удовлетво- ряющее начальным условиям x3 (0) = 0, x&3 (0) = 0, получим: