Часть 2 Теория

жество его ω − предельных точек не пусто.

Лемма 2.6.1. Если существует дифференцируемая функция v(x), ограниченная снизу (сверху) в положительно инвариантной для си-

стемы (2.6.1) области D Rn , и если производная этой функции в силу системы (2.6.1) знакоотрицательна (знакоположительна) в D,

то все ω − предельные точки траектории любого решения x(t, p) ( p Î D ) лежат на одной и той же поверхности уровня функ-

lim v[x(tn , p)] = v(q). Но в силу монотонности функции v[x(t, p)] мо-

n→+∞

жем утверждать, что v(q) = v∞ . Лемма доказана.

2.7 Устойчивость в целом. Теорема Барбашина-Красовского

Предположим, что система (2.6.1) имеет решение x = 0 ( f (0) = 0).

Определение 2.7.1. Решение x = 0 системы (2.6.1) называется устойчивым в целом (или устойчивым при любых начальных возму- щения), если оно устойчиво по Ляпунову и любое решение x(t) си-

стемы обладает свойством | x(t) |→ 0 при t → ∞.

Заметим, что у системы x& = Ax с матрицей A, все собственные значения которой имеют отрицательные вещественные части, реше- ние x = 0 устойчиво в целом.

Определение 2.7.2. Функцию v(x) назовем бесконечно большой, если для произвольного числа N > 0 можно указать такое R > 0 , что v(x) > N при | x |> R .

Поверхности уровня бесконечно большой функции (поверхности {x : v(x) = C = const}) являются ограниченными. В самом деле, для

произвольного C > 0 можно указать R так, что v(x) > C при | x |> R , то есть поверхность уровня целиком лежит в шаре | x |£ R.

Теорема 2.7.1. Если существует дифференцируемая бесконечно большая положительно определенная функция v(x), производная ко- торой v&(x) в силу системы (2.6.1) отрицательно определена при

x Rn , то решение x = 0 системы (2.6.1) асимптотически устой- чиво в целом.

Теорема 2.7.1 допускает обращение и является частным случаем более общей теоремы Барбашина-Красовского.

Теорема 2.7.2 (Теорема Барбашина-Красовского). Если суще-

ствует дифференцируемая бесконечно большая положительно опре- деленная функция v(x) такая, что v&(x) < 0 вне некоторого множе- ства M и v&(x) £ 0 на множестве M, где множество M не содержит

устойчивость по Ляпунову решения x = 0, то в этом случае устойчи- вость в целом доказана.

v = v∞ = const и, значит, v& = 0. Поэтому W Ì M . По условию теоремы множество M не может содержать целых траекторий, кроме траекто- рии x = 0. Значит v∞ = 0.

устойчивым в целом.

Пользуясь полученным результатом, покажем, что при β > 0 си-

стема (2.5.16) устойчива в целом. Это будет означать, что «авторуле- вой» возвращает судно на заданный курс при любых, (а не только при достаточно малых) начальных отклонениях. Так же как это делалось ранее, заменим функцию f (σ ) на непрерывно дифференцируемую

функцию f1 (σ ). После этого перейдем от системы (2.5.16) к уравне-

нию второго порядка относительно σ . Последовательно получим σ&& = &x&1 + β &x&2 = x&2 + β[-x&1 + f1′(σ )(x&1 + β x&2 )] Þ

Þσ&& - β f1¢(σ )σ& = x&2 - β x&1 = -x1 + f1(σ ) - β x2 Þ

Þσ&& - β f1¢(σ )σ& + (σ - f1(σ )) = 0.

~ σ σ > σ ¹ . Поэтому σ → 0,σ& → 0 при t → ∞. Иными словами f ( ) 0( 0)

x1 + β x2 ® 0, x2 - β x1 + β f1 (x1 + β x2 ) ® 0 при t → ∞ . Отсюда следу- ет, что x1 ® 0, x2 ® 0 при t → ∞. Значит, при β > 0 x1 = 0, x2 = 0 – устойчивое в целом состояние равновесия.

2.8 Диссипативные системы. Критерии диссипативности

Рассмотрим нелинейную систему:

Будем считать, что для системы (2.8.1) выполнены условия существо- вания и единственности решения x(t,t0 , x0 ) везде в Rtn,x+1 .

Определение 2.8.1. Систему (2.8.1) будем называть диссипа- тивной по Левинсону, если все ее решения бесконечно продолжаемы

Иными словами, для любого решения системы x(t,t0 , x0 ) существует

T (t0 , x0 )такое, что в момент t1 = t0 + T (t0 , x0 ) ³ t0 оно навсегда погру- жается в фиксированный шар {x :| x |≤ R}: | x(t, t0 , x0 ) |< R при t ³ t1

(рис. 2.8.1).

где A − n × n гурвицева матрица (все собственные значения этой мат- рицы имеют отрицательные вещественные части), а ϕ(t, x)– ограни-

ченная при всех x Rn и t (−∞, ∞) вектор-функция из Rn+1 в Rn .

ряющее начальному условию x(t0 ) = x0 . Если матрица A гурвицева,

то, вспоминая структуру этого решения, легко получить оценку

| e A(t−t0 ) x0 |≤ Ce−α (t−t0 ) | x0 |, α > 0,C > 0.

Поскольку приведенная оценка справедлива для произвольного x0 , то

Теорема 2.8.1. Система (2.8.3) с гурвицевой матрицей А и огра- ниченной функцией ϕ(t, x) диссипативна по Левинсону.

Доказательство. Пусть x(t) = x(t,t0 , x0 ) – произвольное решение системы (2.7.3). Запишем это решение в форме Коши:

где ψ (σ )– скалярная функция переменной σ = cT x , b и с – n-

векторы. Такие системы встречаются в теории автоматического регу- лирования и носят название «системы с тахометрической обратной связью».

Выполним в системе (2.8.6) замену Льенара

σ

Теорема 2.8.2. Пусть òψ (τ )dτ ограничен при всех σ и матрица

0

A гурвицева. Тогда система (2.8.6) диссипативна.

σ

Доказательство. Из ограниченности функции ϕ(σ ) = òψ (τ)dτ и

0

гурвицевости матрицы A по теореме 2.8.1 следует диссипативность системы (2.8.7). Поскольку x = y + bϕ(σ ), то из ограниченности

функции ϕ(σ ) сразу следует диссипативность системы (2.8.6). Пример 2.8.2. Показать, что при α > 0 все решения уравнения

&x&+ (α + xe−x2 )x& + 3x = 0 ограничены при t → ∞ .

Запишем данное уравнение в виде эквивалентной системы

Одно достаточное условие диссипативности автономных систем

Общая идея формулируемого ниже утверждения следующая: ес- ли условия теоремы Барбашина-Красовского выполнены вне некото- рого шара радиуса R1 , то есть на множестве {x :| x |³ R1}, то система

диссипативна. Рассмотрим систему:

Теорема 2.8.3. Пусть на множестве {x :| x |³ R1} определена не- отрицательная дифференцируемая функция v(x) , обладающая сле- дующими свойствами:

1) lim v(x) = +¥ ,

|x|→∞

2)v&(x) = (grad v(x) × f (x)) £ 0 при | x |³ R1 ,

3)среди решений x(t) системы (2.8.8) не существует таких, для

которых v&[x(t)] º 0 при | x |³ R1 . Тогда система (2.8.8) диссипативна.

Доказательство. Рассмотрим решение x(t, x0 ) (x(0, x0 ) = x0 ) та-

кое, что | x0 |³ R1. В силу условия 2) теоремы v[x(t, x0 )] £ v(x0 )и, сле- довательно, решение x(t, x0 ) при всех t ³ 0 лежит в ограниченном

множестве {x : v(x) £ v(x0 )}. Поэтому рассматриваемое решение про-

должаемо на промежуток [0, ¥) . Положим M = sup v(x) и рассмот-

|x|=R1

рим множество D = {x : v(x) £ M}. В силу условия 1) теоремы, это множество ограничено. Из определения множества D и условия 2) теоремы вытекает, что для произвольного x0 , удовлетворяющего условию | x0 |£ R справедливо включение x(t, x0 ) Ì D при всех t ³ 0.

Покажем теперь, что для произвольного x0 такого, что | x0 |> R1 , найдется t1 > 0, для которого | x(t1 , x0 ) |£ R1. Предположим противное, то есть будем считать, что | x(t, x0 ) |> R1 при "t ³ 0. По доказанному выше решение x(t, x0 ) ограничено и, значит, множество ω -

предельных точек положительной полутраектории этого решения не пусто. Пусть y – какая-либо ω -предельная точка упомянутой по- лутраектории. Тогда | y |³ R1 . Так как функция v[x(t, x0 )] ограничена

= lim v[x(tn , x0 )] = v(y). Через ω -предельную точку y проходит тра-

n→∞

ектория x(t, y), состоящая из ω -предельных точек траектории реше- ния x(t, x0 ) , причем | x(t, y) |³ R1. Эта траектория целиком расположе- на на поверхности уровня v(x) = v(y) = const функции v(x). Поэтому v&[x(t, y)] = 0 . Последнее противоречит условию 3) теоремы.

Итак, для произвольного x0 Rn найдется момент t1 ³ 0 такой, что x(t1 , x0 ) £ R1. Но тогда при всех t ³ t1 x(t, x0 )Î D . Так как мно-

ìx& = 2x + y - 1 x3 + 1 x2 ,

ï

í 3 2

ïîy& = -x - y.

Пусть v(x, y) = x2 + y2 . Производная этой функции в силу рас-

сматриваемой системы

Нетрудно убедиться, что v&(x, y) < 0, если только x2 + y2 достаточно

и имеют разные знаки.

IIIЭлементы теории колебаний

3.1Теория Пуанкаре-Бендиксона

Рассмотрим уравнение &x&+ kx& + bx = 0 , в котором b > 0. Если k > 0, то решение x = 0 асимптотически устойчиво. Если же k < 0, то решение x = 0 полностью неустойчиво в малом.

Теперь рассмотрим нелинейное уравне- ние &x&+ ϕ(x)x& + bx = 0, в котором ϕ(x) < 0 при

малых x и ϕ(x) > 0 при больших по абсо- лютной величине значениях x (рис.3.1.1). Яс-

xно, что в рассматриваемом случае может по- явиться решение уравнения, которое ограни- чено и не стремится к нулю при t → +∞. Как

будет вести себя такое решение?

Будем считать, что для этой системы везде в R2 выполнены условия теоремы существования и единственности решения и имеет место не- прерывная зависимость решений от начальных данных. Все эти усло- вия, например, выполнены, если правая часть системы есть диффе- ренцируемая функция везде в R2 .

Пусть x(t) = x(t, x0 ) – ограниченное при t ³ 0 решение системы

ограничено, то множество ω −предельных точек полутраектории γ не пусто. Пусть y −одна из ω −предельных точек.

Теорема 3.1.1. Если y γ , то γ либо точка покоя, либо цикл.

Доказательство. Если у – точка покоя, то по теореме единствен- ности через эту точку проходит единственная траектория, которая совпадает с у. Поскольку y γ , то γ совпадает с у.