Часть 2 Теория

решение системы (2.2.4) неустойчиво. По теореме 2.2.1 система (2.2.4) вполне неустойчива. Теорема доказана.

Следствие 2.2.3. Если неоднородная система (2.2.3) устойчива, то все ее решения или одновременно ограничены, или не ограничены при t → ∞.

Теорема 2.2.4. Система (2.2.4) асимптотически устойчива то- гда и только тогда, когда все ее решения стремятся к нулю при

t → ∞.

Доказательство. Пусть система (2.2.4) асимптотически устойчи- ва. Тогда все ее решения, включая решение x(t) ≡ 0, асимптотически

x(t) – произвольное решение системы (2.2.4). Запишем его в виде

Пусть все решения системы (2.2.4) стремятся к нулю при t → ∞. Тогда все они, очевидно, ограничены и потому система устойчива по Ляпунову (в силу теоремы 2.2.3). Кроме того, решение x(t) ≡ 0

асимптотически устойчиво. Поэтому, по теореме 2.2.2, система асимптотически устойчива. Теорема доказана.

2.3 Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами. Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара

где A = (aij ) – постоянная n×n- матрица. Вспомним, что в случае раз- личных вещественных собственных значений λ1,λ2 ,...,λn общее ре-

шение этой системы имеет вид

y = C1e1eλ1x + C2e2eλ2x + ... + Cneneλn x ,

где e1,e2 ,...,en – собственные векторы, соответствующие собствен- ным значениям λ1,λ2 ,...,λn . Ясно, что если Reλi < 0 (i = 1,2,..., n) , то y(x) → 0 при x → +∞ . Следовательно, в этом случае состояние рав-

новесия y = 0 асимптотически устойчиво по Ляпунову. Аналогичная ситуация имеет место и в случае кратных и комплексных собствен- ных значений матрицы A. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Линейная однородная система (2.3.1) с постоян-

ными коэффициентами асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A имеют отрица- тельные вещественные части.

Для того, чтобы пользоваться этой теоремой, нужно уметь нахо- дить собственные значения матрицы A, что является весьма трудоем- кой процедурой в случае n > 2 . Избежать этой процедуры позволяет использование критерия Рауса-Гурвица.

Рассмотрим полином

плексные коэффициенты.

Определение 2.3.1. Полином f(z) называется полиномом Гурви- ца (гурвицевым полиномом), если все его нули имеют отрицательные вещественные части (Re zi < 0) .

Определение 2.3.2. Полином f(z) называется стандартным, ес-

ли a0 > 0, an ¹ 0.

Теорема 2.3.2. Для того, чтобы стандартный полином f(z) с действительными коэффициентами ai был полиномом Гурвица,

Например, для полинома пятой степени

f (z) = a0 + a1z + a2 z2 + a3 z3 + a4 z4 + a5 z5

матрица Г выглядит так:

Теорема 2.3.3 (теорема Гурвица). Для того, чтобы стандарт- ный полином f(z) был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Γ были положи- тельными:

сильным ему критерием Льенара-Шипара.

Теорема 2.3.4. Для того, чтобы полином f(z) с действительными коэффициентами был полиномом Гурвица, необходимо и достаточ- но, чтобы все его коэффициенты были положительны (ai > 0) и вы-

полнялись условия n−1 > 0, n−3 > 0, n−5 > 0,..., где k те же, что и в формулах (2.3.2).

Пример 2.3.1. Определить область асимптотической устойчиво-

сти линейной системы

ìx& = -x + ay

ïíy& = bx - y + az , где a, b – действительные параметры.

ïîz& = by - z

Решение. Характеристическое уравнение системы имеет вид

Один из корней характеристического уравнения λ1 = −1. Два других

корня, согласно замечанию 2.3.1, будут иметь отрицательные веще- ственные части, если выполняются условие 1− 2ab > 0. Область устойчивости рассматриваемой системы на плоскости (a,b) изобра- жена на рис.2.1.3.

a

Рис. 2.1.3

Пример 2.3.2. При каких a и b полином λ4 + 2λ3 + aλ2 + 3λ + b является полиномом Гурвица?

Решение. Составим для данного полинома матрицу Гурвица и применим критерий Льенара-Шипара.

Окончательно получаем условия: b > 0; 6a > 4b + 9.

2.4 Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева

Пусть V(x) – функция переменной x Î Rn . Будем говорить, что функция V(x) положительно определена в окрестности U точки x = a ,

любой положительно определенной функции.

Лемма 2.4.1. Если функция V(x) положительно определена в не- которой окрестности U точки x = a , то при достаточно малом C > 0 множество {x :V (x) = C} представляет собой замкнутую по- верхность, стягивающуюся при C → 0 к точке x = a .

Пример 2.4.1. Пусть V (x) = xT Hx, где H положительно опреде- ленная матрица. Тогда V(x) – положительно определенная функция (положительно определенная квадратичная форма). Поверхности уровня такой функции xT Hx = C представляют собой эллипсоиды, стягивающиеся к точке x = 0 при C ® 0.

Определение 2.4.1 Положительно определенная в некоторой окрестности U точки x = a дифференцируемая в этой окрестности

если ее производная V&(x) = (gradV (x), f (x)) не положительна в ука-

занной окрестности.

Приведенная ниже теорема А.М.Ляпунова является одной из центральных теорем так называемого второго метода Ляпунова, иг-

рающего важную роль в качественной теории дифференциальных уравнений.

Теорема 2.4.1. Если в некоторой окрестности U положения рав- новесия x = a системы (2.4.1) существует функция Ляпунова V(x), то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Прежде чем непосредственно перейти к доказа- тельству, наметим его геометрическую идею для случая n = 2 . Пусть, для простоты a – точка (0,0). Как было отмечено выше, линии уровня V (x) = C – замкнутые (при малых С) кривые, охватывающие начало координат. Эти кривые стягиваются в точку (0,0) при C → 0 и кривая

Так как V&(x) ≤ 0 в U и V (x0 ) < k , то V (x) < k при 0 £ t < ¥ вдоль траектории x(t, x0 ). Следовательно, траектория, которая начинается

в шаре Kδ , не может пересечь сферу Sε , так как на Sε V (x) ³ k и V (x) < k вдоль рассматриваемой траектории. Теорема доказана.

Теорема 2.4.2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчи-

вости). Пусть в некоторой окрестности U положения равновесия x = 0 системы (2.4.1) существует функция Ляпунова V(x) такая, что ее производная V&(x) в силу этой системы отрицательно определена в U. Тогда положение равновесия x = 0 асимптотически устойчиво.

Доказательство. Выберем шары Kδ и Kε также, как это было сделано при доказательстве теоремы 2.4.1. Если | x0 |< δ , то

| x(t, x0 ) |£ ε при 0 £ t < ¥. Рассмотрим функцию w(t) = V[x(t, x0 )].Так как V&[x(t, x0 )] ≤ 0, то функция w(t) не возрастает и, следовательно,

существует lim w(t) = A ³ 0 .

t→+∞

Действительно, если бы это было не так, то на рассматриваемой тра- ектории имелись бы точки сколь угодно близкие к точке x = 0 и функция V(x) в этих точках принимала бы сколь угодно малые значе- ния. В шаровом слое α ≤| x |≤ ε функция V&(x) по условиям теоремы

строго отрицательна. В силу непрерывности функции V&(x) в указан- ном шаровом слое (и, значит, на рассматриваемой траектории) вы- полнено соотношение V&(x) £ -m < 0 . Поэтому w&(t) = V&[(x(t, x0 )] £ -m. Интегрируя последнее неравенство, получим

w(t) ≤ w(0) − mt < 0 при t > wm(0) .

Пришли к противоречию с предположением w(t) ³ A > 0 при t ³ 0. Теорема доказана.

Теорема 2.4.2 не дает оценки скорости стремления | x(t, x0 ) | к нулю при t → +∞. Следующее утверждение позволяет получить та-

где α, β , M – некоторые положительные числа.

Тогда существует такая постоянная C > 0, что

−αt

| x(t, x0 ) |£ Ce β при t ³ 0

для всех достаточно малых | x0 |.

Доказательство. Пусть w(t) = V[x(t, x0 )]. Тогда

dtd [eαt w(t)]= eαt [αw(t) + w&(t)] £ 0.

Интегрируя последнее неравенство, получим

eαt w(t) - w(0) £ 0 Þ w(t) £ e−αt w(0) Þ V[x(t, x0 )] £ e−αtV (x0 ).

По условию (2.4.2):

M | x(t, x0 ) |β £ V[x(t, x0 )] £ e−αtV (x0 ) Þ| x(t, x0 ) |£ β V (x0 )e −βαt

M

при t ³ 0. Теорема доказана.