5.3. Особенности движения газовой (сжимаемой) среды

Рассмотрим некоторые особенности движения газа по сравнению с жидкостью. Представим себе сначала несжимаемую жидкость, находящуюся в длинной трубе и ограниченную поршнями А и В (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Жидкость, находящаяся в длинной трубе, ограниченной поршнями А и В

В силу несжимаемости жидкости, всякое перемещение поршня А вызовет в тот же момент такое же перемещение поршня В (так как если бы между А и В было твердое тело). Иными словами, изменения давления, вызванные перемещениями поршня А передаются в несжимаемой жидкости мгновенно, т.е. с бесконечно большой скоростью ( 1435 м/c).

Иначе обстоит дело в сжимаемой жидкости. При перемещении поршня перед ним возникает уплотнение (упругое возмущение), которое двигается вперед с конечное скоростью, зависящей от состояния и свойств жидкости. Под возмущением понимают местное изменение какого-либо из параметров газа или их комбинации (местное повышение или понижение давления, плотности, скорости).

В газах в отличие от несжимаемой жидкости скорость распространения упругих возмущений разная в разных точках и зависит от отношения давления к плотности в данной точке. .

Величина а, которая называется скоростью звука, играет важнейшую роль во всей механике газа. Поскольку законы движения газовой среды резко отличаются друг от друга в зависимости от того, больше ли скорость движения газа скорости распространения звука или меньше ее.

В газовой динамике принято считать, что в сжимаемой среде распространяются не возмущения, а волны. Если изменение параметра (например, давления) происходит на очень малую величину, то такое возмущение называют слабым. Пример слабого возмущения – распространение звуковой волны. Если возмущение изменяется непрерывно на некоторую конечную величину, то говорят о возмущении и волне конечной интенсивности. Если изменение происходит «мгновенно» до некоторого конечного значения, то говорят о возмущении бесконечной интенсивности и ударной волне. Так как в ударной волне «мгновенно» изменяется плотность газа, то ударную волну называют также скачком уплотнения. Распространение ударной волны всегда сопровождается увеличением энтропии.

Изменение плотности газа чаще всего сопровождается изменением температуры или теплообменом. В связи с этим для описания его движения наряду с уравнениями механики могут быть использованы уравнения термодинамики и соответствующие методы их анализа.

5.4. Уравнение Бернулли для установившегося движения сжимаемой жидкости. Параметры торможения. Газодинамические функции

Как известно в потоке газа или жидкости могут существовать точки или области, скорость в которых равна 0. Примерами могут служить критические точки на поверхности обтекаемого тела или большая емкость, из которой происходит истечение через малое отверстие или сопло.

Для того чтобы получить уравнение Бернулли для сжимаемой среды (газа) нужно заранее знать термодинамический процесс изменения состояния газа, так как без этого неизвестна зависимость плотности газа от давления.

Предполагая течение адиабатическим получим уравнение Бернулли для газового потока и применим его к произвольной точке, где скорость течения равна V и к точке, где скорость V = 0.

Для вывода уравнения Бернулли в случае газовой среды продифференцируем уравнение Бернулли (5.7), полученное ранее для несжимаемой жидкости.

.

Для горизонтального течения z = const, следовательно gdz = 0.

(5.9)

Уравнение (5.9) называют уравнением количества движения для одномерного установившегося течения.

При интегрировании уравнения (5.9) необходимо учесть, что плотность  есть величина переменная и зависящая от давления. Зависимость плотности от давления при адиабатическом (изоэнтропическом) процессе определяется формулой (1.17)

p/^к = С = const.

Проинтегрируем уравнение (5.9)

или (*)

Преобразуем интеграл в уравнении (*), для этого продифференцируем уравнение адиабаты (изоэнтропы) (1.17)

тогда

Подставляя полученное выражение в уравнение (*), имеем

(5.10)

Это уравнение похоже на уравнение, полученное Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости , но отличается от него множителем к/(k-1) при пьезометрической высоте p/, а также тем, что здесь  величина переменная.

Рассмотрим другие формы записи уравнения Бернулли для сжимаемой среды. Учитывая выражение (1.15) , получим

(5.11)

Учитывая выражение (1.20) , получим

или (5.12)

Применим уравнения (5.10) – (5.12) к произвольной точке, где скорость течения равна V и к точке, где скорость V = 0. Последнюю будем называть точкой торможения и все относящиеся к ней параметры отмечать индексом 0. Тогда получим

(5.13)

где a₀, T₀, i₀=c_pT₀ – скорость звука, температура и энтальпия в точке торможения. Величины a₀, T₀, i₀, p₀, ₀, называемые параметрами торможения (полными параметрами), являются константами данного газового потока.

Параметрами торможения в данном сечении потока называют такие условные параметры, которые приобретает газ при его торможении без трения и теплообмена (изоэнтропном торможении), т.е. без необратимых преобразований механической энергии.

Покажем, что отношение любого параметра газового потока к соответствующему параметру торможения определяется только числом Маха (М).

Из уравнений (5.13) с учетом того, что , получим

или

(5.14)

Используя зависимости (1.18) между параметрами состояния в адиабатном (изоэнтропном) процессе получим

(5.15)

. (5.16)

Функции (5.14) – (5.16) называют газодинамическими функциями. Газодинамические функции связывают текущие статические термодинамические параметры и термодинамические параметры изоэнтропно заторможенного потока. Значения этих функций приводятся в справочной литературе в виде таблиц.