10

Лекция 4

3. Гидростатика

План лекции

3.3.3. Сообщающиеся сосуды.

3.3.4. Принцип работы простейших гидравлических машин.

3.3.5. Статическое давление жидкости на плоскую поверхность. Гидростатический парадокс.

3.3.6. Статическое давление жидкости на криволинейные поверхности.

3.3.7. Основы теории плавания.

3.3.3. Сообщающиеся сосуды

Ранее были приведены и рассмотрены, сообщающиеся сосуды, заполненные одной и той же жидкостью. Теперь же рассмотрим сообщающиеся сосуды, заполненные несмешивающимися жидкостями с разной плотностью (см. рис. 3.6).

Рис. 3.6. Сообщающиеся сосуды, заполненные несмешивающимися жидкостями с разной плотностью

Для каждой жидкости в отдельности справедливо уравнение (3.9) . Используем его для определения высот столбов h₁ и h₂. Рассмотрим случай, когда на свободной поверхности жидкостей давления одинаковы и равны р₀

Так как все точки поверхности раздела принадлежат однородной жидкости, то эта поверхность является одновременно и поверхностью равного давления. Поэтому

; ;

,

а, следовательно, или , т. е. в сообщающихся сосудах с одинаковым давлением на свободной поверхности высоты столбов обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

3.3.4. Принцип работы простейших гидравлических машин

То обстоятельство, что жидкости будучи практически не сжимаемыми, равномерно передают по всему своему объему внешнее давление, широко используется в различных отраслях техники (в гидроприводах, гидроавтоматике, гидравлических тормозах и усилителях и т.п.). Это свойство жидкости также эффективно применяют в таких простейших машинах, как гидравлические домкраты (подъемники) и прессы.

Рис. 3.7. К рассмотрению принципа работы простейших гидравлических машин

Принцип их работы основан на следующем: имеются два сообщающихся между собой цилиндра разного диаметра (рис. 3.7). Прилагая к поршню меньшего из цилиндров какую-то внешнюю силу P₁, мы тем самым создаем на поверхности жидкости в этом цилиндре давление , которое равномерно передается во все точки пространства, заполненного жидкостью. Тогда на поршень большего из цилиндров (без учета потерь) будет действовать подъемная сила или . Таким образом, чем больше разняться между собой площади поперечного сечения цилиндров, тем большую (подъемную, сжимающую, перемещающую) силу мы получаем в таких гидравлических устройствах.

3.3.5. Статическое давление жидкости на плоскую поверхность. Гидростатический парадокс

Для определения силы давления жидкости Р на плоскую поверхность (см. рис. 3.8), площадь которой равняется s, разобьем ее произвольным образом на бесконечно малые площади ds. Давление жидкости на поверхность определится как сумма сил давлений на эти элементарные площадки.

Рис. 3.8. К определению давления жидкости на плоскую поверхность

Рассмотрим элементарную площадку, центр которой расположен на глубине  уровня, проходящего через центр тяжести всей площади Т. Давление в центре тяжести этой площади обозначим р_т. Тогда гидростатическое давление в центре элементарной площадки равно

Сила давления на элементарную площадку

Давление на всю поверхность s определится интегрированием

.

Первый интеграл

Второй интеграл представим в виде ,

, где  ‑ расстояние элементарной площадки от оси , расположенной в плоскости стенки, проходящей через ее центр тяжести и параллельной уровню (линии уреза) жидкости. Величина ‑ статический момент площади s, симметричной относительно оси , проходящей через центр тяжести, а потому .

Окончательно получим (3.11)

Таким образом, сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению площади этой поверхности на величину гидростатического давления в ее центре тяжести.

Следствием формулы (3.11) является доказательство гидростатического парадокса, впервые полученное Паскалем.

Величина силы весового давления жидкости на дно резервуара зависит только от плотности этой жидкости, площади дна и глубины его погружения под свободной поверхностью. При этом вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемого ею на дно, т.е. силы давления жидкости на дно резервуара не зависят от его формы и количества жидкости ;

Рис. 3.9. Гидростатический парадокс

Так в расширяющихся кверху сосудах (рис. 3.9) сила весового давления на дно меньше веса жидкости, в цилиндрических они одинаковы, а в суживающихся кверху – сила давления больше веса заключенной в сосуд жидкости.

Так как найденная сила является равнодействующей, то помимо ее величины необходимо определить и точку ее приложения, называемую центром давления. Центр тяжести совпадает с центром давления только тогда, когда рассматриваемая плоская поверхность лежит в горизонтальной плоскости.

В

Рис. 3.10. К определению центра давления

остальных случаях центр давления лежит ниже центра тяжести плоской фигуры на величину , т.е. (рис. 3.10),

где I_ц – момент инерции

относительно центральной оси;

l_ц – координата точки центра тяжести.

Так, например, координата центра давления для плоской вертикальной стенки при уровне воды перед стенкой H равна .

При анализе действующих на гидротехнические сооружения сил и гидравлических расчетах весьма удобно использовать эпюры нормальных гидростатических напряжений.

Эпюрой нормальных гидростатических напряжений называется графическое изображение закона распределения нормального гидростатического напряжения по рассматриваемой поверхности.

Поскольку гидростатическое давление р является модулем гидростатического напряжения , эпюры нормального гидростатического напряжения могут быть построены с использованием зависимости (3.9) и применены для определения величины  в любой точке рассматриваемой поверхности. При этом следует помнить, что это напряжение направлено по нормали к площадке действия.

Рассмотрим порядок построения эпюры нормальных гидростатических напряжений на вертикальную стенку (рис. 3.11), уровень жидкости в которой Н.

Рис. 3.11. Эпюры нормальных гидростатических напряжений

Внешнее гидростатическое давление р₀ равномерно передается жидкостью по всему ее объему. Отложив в масштабе на перпендикулярах к рассматриваемой плоской стенке в ее верхней и н ней части р₀ и соединив концы векторов прямой линией, получим прямоугольник-эпюру нормальных напряжений, вызываемых внешним давлением. Избыточное гидростатическое давление изменяется по глубине по закону прямой, причем оно равно 0 на свободной поверхности жидкости и максимально – у дна (pgH).

Таким образом, эпюры нормального избыточного гидростатического напряжения имеют форму прямоугольного треугольника. Эпюра нормального абсолютного гидростатического напряжения получается в результате сложения предыдущих двух эпюр и имеет форму трапеции.

Аналогично строятся эпюры нормального гидростатического напряжения в случае наклонной стенки. С помощью подобных эпюр можно графически суммировать нормальное гидростатическое напряжение при действии однородных или разнородных жидкостей с двух сторон плоской стенки.

С помощью эпюры нормального гидростатического напряжения может быть подсчитана сила гидростатического давления на плоскую поверхность, поскольку объем такой эпюры численно равен величине этой силы. Причем сила давления на плоскую поверхность проходит через центр тяжести эпюры, положение которого для трапецеидальной эпюры нормального гидростатического напряжения на прямоугольную стенку может быть определено графически или по формулам.