16

Лекция 7

5. Гидродинамика

План лекции

5.1. Дифференциальные уравнения движения жидкости

5.2. Уравнение Бернулли для установившегося движения несжимаемой жидкости

5.3. Особенности движения газовой (сжимаемой) среды

5.4. Уравнение Бернулли для установившегося движения сжимаемой жидкости. Параметры торможения. Газодинамические функции

5. Гидродинамика

Гидродинамикой называется раздел гидравлики, изучающий движение жидкости, а также взаимодействие между жидкостью и твердыми телами при их относительном движении. Исходя из этого вводят понятие о внутренней, внешней и струйной задачах механики жидкости (газа). К внутренней задаче относится движение жидкости в трубах, каналах и. т.п., к внешней задаче относится обтекание потоком твердых тел, к струйной задаче – исследование движения жидкости в струях, вытекающих из сопла или в следах за телом.

Основной задачей гидродинамики как части гидравлики является исследование закономерностей, характеризующих поток в целом.

Частица жидкости при движении характеризуется плотностью, местной скоростью и гидродинамическим давлением. Поскольку плотность жидкости в большинстве случаев можно считать постоянной, то одной из основных задач гидродинамики является определение 2-х неизвестных: местной скорости и гидродинамического давления в отличие от гидростатики, где только одно неизвестное – гидростатическое давление.

Местной скоростью u называется скорость частицы жидкости в данной точке пространства в данный момент времени t, т.е. . В проекциях на оси координат следует различать составляющие скоростиV_x, V_y, V_z, при этом .

Гидродинамическое давление p характеризует давление в данной точке движущейся жидкости (аналогично гидростатическому давлению) и по аналогии с местной скоростью может быть записано как .

5.1. Дифференциальные уравнения движения жидкости

В пространстве, занятом движущейся жидкостью, проведем мысленно неподвижную прямоугольную координатную систему, относительно которой рассмотрим поле скоростей и давлений (метод Эйлера). В общем случае неустановившегося движения

Применим основное уравнение динамики, по которому сила равна массе, умноженной на ускорение, к элементарной частице движущейся жидкости с единичной массой (рис. 5.1).

Рис. 5.1. К выводу дифференциальных уравнений движения жидкости

Действуя аналогично случаю вывода дифференциального уравнения гидростатики, получим, что проекции объемных сил на оси координат равны X, Y, Z (X = a_x + g_x, Y = a_y + g_y, Z = a_z + g_z), проекции сил давления определятся как . Записывая проекции сил на каждую из осей, представляем силы давления в виде произведения напряжения (давления) на площадь элементарной площадки.

Так как , а, тои окончательно проекции сил давления запишутся в виде.

В результате

(5.1)

Из системы (5.1) в случае покоящегося потока легко получаются дифференциальные уравнения равновесия жидкости (3.3).

Система уравнений (5.1) получена для случая трехмерного нестационарного движения идеальной жидкости (невязкой). Рассмотрим особенности записи уравнений движения для случая вязкой жидкости. Для этого перепишем систему уравнений (5.1) в векторной форме , где. Уравнения движения вязкой жидкости по сравнению с уравнениями идеальной имеют следующий вид

, (5.2)

здесь  – оператор Лапласа ; дивергенция вектора– скалярная величина, определяемая выражением; – динамическая вязкость жидкости.

Уравнения (5.2) называются уравнениями Навье-Стокса и описывают пространственное нестационарное движение вязкой жидкости. От системы (5.1) эти уравнения отличает наличие вязких слагаемых. Эти уравнения представляют собой уравнения в частных производных второго порядка и являются одними из наиболее сложных уравнений математической физики. Поэтому в гидродинамике часто пользуются моделью идеальной жидкости.

Луи Мари Навье (1785 – 1836 гг.) – видный французский инженер и механик, профессор Политехнической школы в Париже, член Парижской академии наук. Первым вывел (в 1824 г.) уравнения движения вязкой жидкости.

Джордж Габриель Стокс (1819 – 1903 гг.) – выдающийся английский математик, профессор Кембриджского университета, автор ряда исследований по математике и гидромеханике.

Преобразуем систему уравнений (5.1). В левой части уравнений системы (5.1) указаны производные, называемые полными или субстанциональными. Полная производная каждой из составляющих скоростей может быть представлена в виде:

Производные характеризуют неустановившееся движение, т.к. выражают непосредственно изменение скорости во времени в данной точке потока. Прочие производные описывают изменение скоростей в связи с изменением положения частицы в пространстве. Следует также отметить, что приращения координат dx, dy, dz представляют собой путь, пройденный частицей за время dt, а потому . Учитывая это система (5.1) приводится к виду

(5.3)

Система (5.3) – система уравнений неустановившегося движения идеальной (невязкой) жидкости – уравнения Эйлера. Физический смысл уравнений Эйлера: полное ускорение частицы слагается из ускорения объемных сил и ускорения от сил давления.

Из систем уравнений (5.1) и (5.2), как частные случаи, легко получаются уравнения для стационарного, двумерного и одномерного течений.

Три уравнения системы (5.3) содержат четыре неизвестные: (V_x, V_y, V_z, p), если жидкость несжимаема и пять неизвестных (плюс ), если жидкость сжимаема. Поэтому система (5.3) дополняется, по крайней мере, еще одним уравнением – дифференциальным уравнением неразрывности (4.7). Полученные выше уравнения неразрывности, движения составляют замкнутую систему уравнений, позволяющую при известных начальных и граничных условиях определить V_x, V_y, V_z, p в каждой точке пространства в любой момент времени. При описании движения сжимаемой среды () с существенно изменяющейся температурой () уравнения (4.7) и (5.3) дополняются дифференциальным уравнением энергии и уравнением состояния. Так, например, уравнение энергиидля идеального газа, уравнение состояния. Для решения перечисленных выше уравнений используются численные методы на основе применения ЭВМ, а сам процесс численного моделирования движения жидкости или газа является предметом изучения вычислительной гидрогазодинамики.