10

Лекция 3

3. Гидростатика

План лекции

3.1. Свойство гидростатического давления в точке.

3.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости.

3.3. Гидростатические законы для жидкости, находящейся в абсолютном покое.

3.3.1. Основные уравнения гидростатики и поверхности равного давления для несжимаемой жидкости.

3.3.2. Определение гидростатического давления в любой точке несжимаемой жидкости. Закон Паскаля.

Гидростатика – раздел гидравлики, в котором изучается равновесие жидкостей и воздействие покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жидкости.

Одна из основных задач гидростатики – изучение распределения давления в жидкости и определение на этой основе сил, действующих со стороны жидкости на соприкасающиеся с ней твердые тела. Знание законов гидростатики позволяет рассчитать силы, действующие на дно и стенки сосудов различной формы и назначения (баки, емкости, цистерны), на поверхность пластины, подводной лодки, вывести условия плавания тел на поверхности и внутри жидкости. На законах гидростатики основано действие гидравлических подъемников, прессов, жидкостных манометров, а также многих других машин, механизмов и приборов.

В гидростатике рассматривается жидкость, находящаяся в состоянии относительного покоя. Под относительным покоем понимают такое состояние, при котором в движущейся жидкости отсутствует перемещение отдельных ее частиц по отношению друг к другу. При этом жидкость перемещается как твердое тело (переносное движение жидкости). Относительный покой реализуется в следующих случаях:

 жидкость находится в резервуаре, неподвижном относительно земли (абсолютный покой);

 жидкость находится в резервуаре, который вместе с жидкостью движется прямолинейно (топливо в баке автомобиля) или вращается с постоянной угловой скоростью (масло в центробежном очистителе).

На жидкость, находящуюся в относительном покое, действуют массовые силы (силы тяжести и сила инерции переносного движения), а из поверхностных сил  только силы давления.

Рассмотрим основные свойства и закономерности, характерные для жидкости, находящейся в покое.

3.1. Свойство гидростатического давления в точке

В объеме жидкости, находящейся в покое (для общности  относительном) выделим элементарный тетраэдр. Три грани его перпендикулярны к соответствующим осям координат, а углы, которые образует с осями координат нормаль n к наклонной грани, обозначим (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Силы, действующие на выделенный в объеме жидкости элементарный тетраэдр

На выделенный элемент среды действуют массовые силы (сила тяжести и сила инерции) и силы давления. Получим выражение для этих сил и рассмотрим условие равновесия выделенного элемента.

Проекции массовых сил на оси координат можно представить в следующем виде:

; ;,

где  проекция на соответствующую ось силы инерции переносного движения ;

 проекция на соответствующую ось силы тяжести ;

X, Y, Z  суммы проекций на оси координат ускорений массовых сил, т.е. ;;

Силы давления действуют по нормалям к выделенным граням и равны соответственно:

Рассматриваемый тетраэдр находится в покое. Поэтому равнодействующая внешних сил, приложенных к нему, равна 0, т.е. сумма проекций сил на соответствующие оси координат равна 0. Запишем уравнение проекций на ось ОХ:

;

(3.1)

где ;;

Учитывая это из уравнения (3.1) получим

или

С приближением размеров тетраэдра к 0 ибудут стремиться к значениям гидростатического давления в точке. Т.е. Поэтому при переходе к пределу при,,получим.

Составляя уравнения проекций сил на оси y и z аналогично рассмотренному, будем иметь ;. Откуда следует, что, т.е. гидростатическое давление в точке покоящейся жидкости имеет значение, не зависящее от направления площадки, для которой оно вычислено, т.е. гидростатическое давление р в любой данной точке одинаково по всем направлениям, то есть не зависит от угла наклона площадки действия.

Ясно, что в общем случае гидростатическое давление в различных точках жидкости будет неодинаково. В гидростатике рассматривается только стационарное состояние жидкости, а потому Определим эту функцию, т.е. найдем закон распределения давления по объему покоящейся жидкости.