Универсальные алгебры с одной бинарной операцией

Лекция №7 Универсальные алгебры с одной бинарной операцией

План

1. Определение математической системы, модели и алгебры. Гомоморфизм и изоморфизм математических систем.

2. Полугруппы и группы, аксиоматика. Циклическая группа.

3. Группы самосовмещений. Таблицы Кэли.

1. Определение математической системы, модели и алгебры. Гомоморфизм и изоморфизм математических систем.

Математическая система или структура формально определяется, как кортеж определенного вида, обычно записываемого в угловых скобках. В общем виде это

 M; R₁, R₂, ... R_k, F₁, F₂, ... F_p,

где М - множество, которое должно быть задано одним из возможных строгих способов,

R и F - символы отношений и функций, используемых в данной системе.

По сути этим способом можно только обозначить некоторую систему, да и то лишь в самом общем виде. Чтобы свойства отношений и функций были однозначно определены, нужно дополнительно указать перечень аксиом, отдельно по каждому отношению и по каждой функции.

Некогда аксиомы понимались, как очевидные истины, не требующие доказательства, однако после появления неэвклидовой геометрии Лобачевского и ряда других революционных теорий эта наивность исчезла. Современная математика исходит из принципов конструктивизма, т.е. признает только такие объекты, для которых может быть показан конечный алгоритм построения. В конструктивной математике аксиома - всего лишь некоторое правило, условие игры, принятое в начале построения алгоритма. Это напоминает шахматные правила: слон ходит по диагонали, хотя ни из каких экспериментов со слонами, живыми или деревянными, это не выводится.

Моделью называется математическая система, в которой используются только отношения и нет ни одной функции. Этот вид систем мы рассмотрим позже, когда будем определять свойства отношений.

Алгеброй называется система, использующая только функции, причем все функции должны задавать связь вида МⁿM. Не случайно изо всех соответствий именно функции выбраны для построения алгебр. Свойство однозначности образа необходимо для получения однозначных результатов в практических приложениях.

Множество М называется носителем алгебры. В континуальной математике это - бесконечное множество составляют действительные или комплексные числа, а в дискретной - количественный смысл элементов вовсе не обязателен.

Кортеж (F₁, F₂, ...F_n) называется сигнатурой алгебры (от signum - знак). Сами функции, образующие сигнатуру называются операциями, определенными в данной алгебре. В зависимости от числа мест различают унарные, бинарные и многоместные операции, а кортеж арностей алгебры называют её типом . Например, используя обычное сложение и умножение на множестве действительных чисел можно получить алгебру

 M; +,  типа  = 2, 2.

Несмотря на то, что сложение и умножение можно представить как многоместные операции, главные их особенности раскрываются и при минимально для них возможном числе аргументов, чем объясняется и указанный тип этой алгебры.

Множество - носитель должно быть замкнутым относительно всех операций, т. е. всегда должно соблюдаться условие

аМ; F(a)M.

Число различных алгебр велико. Придумывая различные множества - носители, по-разному определяя состав операций и устанавливая разные аксиомы относительно их свойств можно построить много алгебр, но лишь некоторые из них будут представлять практический интерес.

При сравнении одной алгебры с другой иногда выясняется, что одна из них может заменить другую. Эта способность называется гомоморфизмом.

Чтобы объяснить явление гомоморфизма, рассмотрим две алгебры:

A = М; F, и B = N; Ф.

Гомоморфизм из А в В существует, т.е. В гомоморфна алгебре А, если одновременно выполняются два условия:

1 - существует отображение из M в N, т.е. каждому элементу из M однозначно соответствует некоторый элемент в N,

2 - результат операции одинаков, независимо от того, выполнена ли она сперва в M с помощью операции F, с последующим отображением в N, или наоборот, сперва выполнено отображение в N с последующим выполнением операции Ф.

Гомоморфизм существует, например: из алгебры L; + (множество логарифмов по сложению) в алгебру С;  (множество положительных и отрицательных чисел по умножению). Алгебра с умножением здесь может заменить алгебру со сложением, но не наоборот, т.к. отрицательные числа не имеют логарифмов. Здесь алгебра с умножением гомоморфна алгебре со сложением.

Другой пример гомоморфизма: из алгебры N; + в алгебру {0, 1, 2, ...9}; ₁₀. Здесь первая алгебра - множество натуральных чисел по сложению, а вторая - множество чисел от 0 до 9 со сложением по модулю 10. Получается так, что алгебра с конечным и при этом очень небольшим носителем гомоморфна алгебре с бесконечным носителем, но не наоборот.

Изоморфизм - это взаимный, т.е. двусторонний гомоморфизм. Он возможен только при равной мощности носителей. С теоретической точки зрения изоморфные системы одинаковы, разница состоит лишь в условностях названий и обозначений.

Одна из основных задач математики как раз и состоит в выявлении гомоморфизмов и изоморфизмов в различных прикладных теориях, благодаря чему происходит обмен достигнутыми результатами и унификация научного языка.