3. Группы самосовмещений. Таблицы Кэли.

В дискретной математике часто используются конечные группы. В качестве примера рассмотрим так называемую группу самосовмещений. Возьмем квадрат с вершинами A, B, C, D. Закрепим его в центре и будем вращать против часовой стрелки. При каждом повороте на 90⁰ будет происходит замена одних букв другими, но всего возможны только четыре расположения, которые будут циклически повторяться. Обозначим поворот на 0⁰ буквой а, на 90⁰ - буквой b, на 180⁰ - буквой с и на 270⁰ - d.

Получим четыре унарные операции вращения, из которых составим носитель алгебры: М = {a, b, c, d}. В качестве групповой операции * примем композицию  {a, b, c, d}; .

Считая композицию  операцией ассоциативной и коммутативной, имея в виду наличие нейтрального элемента а и противоположного элемента (bd = a и т. п.) можно показать, что полученная алгебра является абелевой группой. Но можно поступить иначе. Используя те свойства операции , которые кажутся очевидными, можно составить таблицу, содержащую все возможные здесь ситуации (табл. 7.1).

Таблица 7.1

	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	c	d	a
c	c	d	a	b
d	d	a	b	c

Таблицы подобного вида были введены в 1854 г. специально для групп англичанином Кэли (A. Cayley), который считается изобретателем матричной алгебры.

Таблица Кэли в неявном виде задает все аксиомы алгебры, для которой она построена. На коммутативность операции  указывает симметричность таблицы относительно главной диагонали, на существование обратного элемента указывает присутствие нейтрального элемента: а в каждой строке и каждом столбце таблицы.

Группа самосовмещений является циклической группой, так как все её элементы могут быть получены как степени b: a = b⁴, c = b², d = b³.

Взятая нами в качестве примера группа самосовмещений не имеет прикладного значения, но в дальнейшем мы встретим важные для практики конечные группы.

5