Лекция 5
4. Кинематика жидкости
План лекции
4.1. Методы описания движения жидкости
4.2. Основные виды и формы движения жидкости
4.2.1. Установившееся и неустановившееся движение
4.2.2. Одно-, двух- и трехмерные модели движения жидкости
4.2.3. Ламинарное и турбулентное движения жидкости
4.2.4. Осреднение скоростей во времени и по сечению
4. Кинематика жидкости
Кинематика жидкости, являясь частью гидравлики, описывает движение жидкости вне зависимости от того, какие динамические условия вызывают или поддерживают данное движение.
4.1. Методы описания движения жидкости
Существует два метода кинематического описания жидкого потока – метод Лагранжа и метод Эйлера.
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813 гг.) – выдающийся французский математик и механик, член Парижской академии наук. Автор фундаментальных исследований по многим разделам математики. Основоположник аналитической механики.
Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) один из крупнейших математиков мира. Швейцарец по происхождению, он длительное время жил и работал в Петербурге (1727 – 1741 гг), и с 1766 г. до конца жизни являлся действительным членом Петербургской академии наук. Помимо выдающихся математических работ, Л. Эйлер опубликовал ряд основополагающих результатов по гидромеханике, в том числе дифференциальные уравнения равновесия и движения невязкой жидкости.
Метод Лагранжа ничем, собственно, не отличается от общих методов кинематики твердого тела. Конечной задачей кинематики, как известно, является определение траекторий движения.
При описании движения жидкости, методом Лагранжа, следят за поведением отдельных частиц или групп частиц, составляющих неизменный вещественный объем т. е. m = const, w = var. Для каждой частицы жидкости должна быть определена ее траектория, т.е. координаты этой частицы должны быть определены как функция времени.
Рассмотрим уравнения, описывающие кинематику потока по методу Лагранжа. В неподвижной системе координат частица А перемещалась: с x0, z0 на x1, z1 за время t1; с x1 z1 на x2, z2 за время t2 и т. д. Движение частицы в общем виде будет определено, если можно установить координаты x, y, z в заданный момент времени t в зависимости от начальных координат x0, y0, z0.
Эти уравнения представляют собой уравнения семейства траекторий, заполняющих все пространство, занятое жидкой средой.
Однако для решения практических задач нет необходимости знать траектории частиц. Если жидкость однородна, то индивидуальность частицы не представляет интереса, ибо все частицы одинаковы.
Область применения этого метода – изучение деформации жидкой частицы. Метод Лагранжа в гидравлике не нашел широкого применения в виду его относительной сложности.
В практических приложениях наиболее часто употребляют задание движения по методу Эйлера, как более удобному для математической постановки различных задач механики жидкости и газа.
Метод Эйлера позволяет определить, что происходит в определенные моменты времени t в отдельных точках пространства с координатами x, y, z, заполненного жидкостью вне зависимости от индивидуальности частиц, которые через эти точки проходят.
При описании движения газа методом Эйлера следят за изменением параметров газа в каждой точке неизменного пространственного объема w, т. е. w = = const, m = var, а поведением отдельных частиц не интересуются.
Метод Эйлера заключается в том, что в пространстве намечаются точки (1, 2, 3…) или сечения через которые проходят частицы жидкости с различными скоростями, зависящими от времени t1, t2….: V1(t1), V1(t2), V2(t1), V2(t2), V3(t1), V3(t2)…При этом координаты точек (сечений) остаются неизменными.
Кинематика потока с точки зрения этого метода описывается уравнениями
Метод Эйлера значительно проще метода Лагранжа, поскольку нет необходимости исследовать значительное количество почти не связанных частиц. Использование этого метода значительно облегчает проведение теоретических и экспериментальных исследований, т.к. координаты частиц, зафиксированных в пространстве, известны и постоянны.
От описания кинематики потока по методу Лагранжа, всегда можно перейти к описанию по методу Эйлера. Эта задача решается дифференцированием уравнений по времени с последующим исключением параметров x0, y0, z0. Обратная задача гораздо сложнее.
Рассмотрим примеры использования двух методов.
– ход идей, соответствующих методу Лагранжа: выделяем некоторый жидкий объем w, т.е. объем, состоящий во все время движения из одних и тех же частиц жидкости и исследуем его деформацию с течением времени.
– ход идей, соответствующих методу Эйлера: пусть замкнутая поверхность s, ограничивающая объем w остается неподвижной, а жидкость течет через нее. При этом разные частицы проходят через одно и тоже место в пространстве, ограниченное поверхностью s.