- •Иванов в.И.
- •Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши
- •1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику
- •2. Критерий Коши
- •2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
- •3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа
- •1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости
- •2.Достаточное условие измеримости
- •3. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •Лекция 6
- •Лекция 8
- •2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
- •2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
- •2. Сходимость кратных интегралов
- •3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
- •4. Сходимость кратных интегралов
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля
- •3. Векторные линии и векторные трубки
- •Лекция 21
- •Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы
- •1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме
- •2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал
- •2. Площадь поверхности сферы в Rn
- •Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
- •1. Ориентация на поверхности и ее границе
- •2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
Пусть - гладкая кривая,
.
Пусть - разбиение отрезка,
- мелкость разбиения,
-разметка разбиения.
Образуем следующую интегральную сумму:
Будем говорить, что для функций существует криволинейный интеграл второго рода по кривойв направлении возрастания параметра(от начальной точки кривой к конечной точке), если существует, не зависящий от, т.е.
Этой интеграл имеет следующее обозначение
.
Он зависит от ориентации кривой
.
В случае замкнутой кривой различают положительную и отрицательную ориентацию: против часовой стрелки и по часовой стрелке.
Этот случай подчеркивают следующим обозначением
.
Функции в записи интеграла можно считать координатами вектора. Его называют векторным полем, заданным на кривой.
Обозначим
Криволинейный интеграл определяет работу векторного (силового) полявдоль кривойв направление от точки А к точке В. Работу по замкнутой кривой часто называют циркуляцией.
2. Формула Грина
Теорема (Формула Грина). Пусть в односвязной области задано векторное полетаким, что функции- непрерывные в Е. Кривая, множество, ограниченное этой кривой, выпуклое . Тогда справедлива формула
.
Здесь кривая обходится в положительном направлении (против часовой стрелки).
Доказательство. Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.
y
y = y2(x)
D
A
C
B
y= y1(x)
0 x1 x2 x
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
Рассуждая аналогично, для области правильной при проектировании на ось , получим
(2)
Складывая (1) и (2), получим формулу Грина.
3. Условия независимости интеграла от пути в r2
Лемма. Работа векторного поля не зависит от пути тогда и только тогда, когда любая циркуляция равна 0.
Доказательство. Пусть произвольный замкнутый контур, точки А и В – любые точки на. Тогда
.
Работа векторного поля не зависит от пути .
Лемма доказана.
Векторное поле называется потенциальным, если существует функция 2-х переменных- скалярное поле такое, что, т.е.
Замечание. В дифференциальных уравнениях уравнение первого порядка, записанное в дифференциалах , называется уравнением в полных дифференциалах, если существует скалярное поле:.
В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид
Теорема. Если в односвязной области функциинепрерывны, то следующие условия эквивалентны:
поле - потенциальное в;
в ;
Работа поля вне зависит от пути.
Доказательство. Будем следовать схеме .
Поле - потенциальное в, поэтому-скалярное поле:, т.е.
.
Достаточно проверить, что любая циркуляция в равна 0.
Используем формулу Грина, получим
.
Покажем, что следующее скалярное поле и есть искомый потенциал:
Итак,
. Аналогично доказывается другое равенство. Отсюда
- потенциальное поле в .
Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения