- •Иванов в.И.
- •Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши
- •1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику
- •2. Критерий Коши
- •2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
- •3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа
- •1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости
- •2.Достаточное условие измеримости
- •3. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •Лекция 6
- •Лекция 8
- •2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
- •2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
- •2. Сходимость кратных интегралов
- •3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
- •4. Сходимость кратных интегралов
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля
- •3. Векторные линии и векторные трубки
- •Лекция 21
- •Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы
- •1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме
- •2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал
- •2. Площадь поверхности сферы в Rn
- •Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
- •1. Ориентация на поверхности и ее границе
- •2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
Сферические координаты в задаются отображением
,
.
Найдем касательные векторы и коэффициенты Ламе
………….
Убеждаемся в ортогональности сферических координат и вычисляем Якобиан:
,
.
3. Вычисление объема n-мерного шара
Имеем
- объем шара радиуса . Переход к повторному интегралу дает
.
Пусть . Получим рекуррентную формулу для:
Разбирая различные случаи, получим
если
Имеем
,
ЛЕКЦИЯ 12
Оператор Лапласа в ортогональных координатах. Оператор Лапласа в полярных координатах в R2, цилиндрических и сферических
координатах в R3
1. Оператор Лапласа в ортогональных координатах
Дифференциальный оператор Лапласа второго порядка задается равенством
Тогда
- уравнение Лапласа.
Если - ортогональные координаты, то оператор Лапласа в новых координат примет следующий вид :
2. Оператор Лапласа в полярных координатах в R2, цилиндрических и сферических координатах в R3
Оператор Лапласа в полярных координатах в :
.
Оператор Лапласа в цилиндрических координатах:
Оператор Лапласа в сферических координатах:
ЛЕКЦИЯ 13
Кратные несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Абсолютная сходимость. Признак сравнения. Сходимость кратных интегралов
1. Кратные несобственные интегралы 1-го. Абсолютная сходимость.
Признак сравнения
Пусть - неограниченная область,
, ,для любого.
Последовательность множеств изназывается-допустимой, если
1. ограничены, измеримы по Жордану,
2. ,,
3..
Пример : ,-допустимой последовательностью будет, например, последовательность шаров.
Число называется несобственным интегралом первого рода от функциипо неограниченной области, если для любой последовательности,-допустимых множеств, существует.
В случае сходимости значение несобственного интеграла полагается равным
Если сходится интеграл ,то говорят, что интеграл сходится абсолютно.
Теорема. Несобственный интеграл сходится- сходится.
Интеграл сходится последовательностьограниченная хотя бы для одной последовательности-допустимых множеств.
Эта теорема указывает на большую разницу между одномерным и многомерным случаями.
Признак сравнения можно записать в следующей форме.
Теорема. Пусть функции интегрируемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве и. Тогда
если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл тожесходится;
если несобственный интеграл расходится, то несобственный интегралтоже расходится.
2. Сходимость кратных интегралов
Рассмотрим несобственный интеграл
.
При - сходится прии расходится при.
При ,
.
В полярной системе координат ,
.
При каких интеграл ограничен посходится.
Для исследования сходимости интеграла будем использовать сферическую систему координат
,
В ней
,
- ограничен сходится.
Здесь есть площадь поверхности сферы единичного радиуса.
При ,- объем шара радиуса,
Имеем .
3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
Признак сравнения
Пусть - измеримая по Жордану область,
, ,.
Последовательность множеств изназывается-допустимой , если
1. ограничены, измеримы по Жордану,
2. ,,
3..
Пример : ,-допустимой последовательностью будет , например, последовательность множеств.
Число называется несобственным интегралом второго рода от функциипо ограниченной области, если для любой последовательности,-допустимых множеств существует.
Если сходится интеграл ,то говорят, что интеграл сходится абсолютно.
Теорема. Несобственный интеграл сходится- сходится. Интеграл сходится последовательностьограниченная хотя бы для одной последовательности-допустимых множеств.
Признак сравнения можно записать в следующей форме.
Теорема. Пусть функции интегрируемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве и. Тогда имеем
если несобственный интеграл сходится, то несобственный интегралтоже сходится;
если несобственный интеграл расходится, то несобственный интегралтоже расходится.