3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа

Лемма 4.множество - ограниченное и замкнутое, т.е. компактное.

Доказательство. Так как , то - ограниченное.

Пусть - предельная точка. Покажем, что она принадлежит. Посколькупредельная точка, то существует последовательность, сходящая к. Отсюда для любогонайдется,открытое, поэтому существуеттакое, что. Отсюда имеем, то есть

.

Лемма доказана.

4. Описание множества точек разрыва функции

Пусть - множество точек разрыва функциина прямоугольнике А.

Лемма 5. .

Множество, которое можно представить в виде счетного объединения замкнутых множеств называется множеством типа . Итак,

множество точек разрыва функции - множество типа.

ЛЕКЦИЯ 4

Критерий Лебега интегрируемости по прямоугольнику

1. Критерий Лебега интегрируемости по прямоугольнику

Теорема 1. (Критерий Лебега). Ограниченная функция тогда и только тогда, когда .

Следствие. Всякая функция, имеющая не более чем счетное множество точек разрыва интегрируемая.

Теорема 2. (Критерий интегрируемости). Ограниченная функция тогда и только тогда, когда для любого ..

Сначала выведем теорему 1 из теоремы 2.Доказательство теоремы 1.

Необходимость.Ограниченная функцияпо теореме 2, если для любого..

Достаточность.

По теореме 2 имеем .

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2.

Необходимость . Предположим, что существует ,. То есть найдетсятакое, что для любого набора,, но. Рассмотрим любое разбиение Т прямоугольника А на прямоугольники. Пусть-множество всех тех прямоугольников, внутри которых находится хотя бы одна точка множества. Заметим что для любого прямоугольника изколебание функции на этом прямоугольнике не меньше чем. Отсюда для любого разбиения ТЭто означает, что функция не интегрируема на прямоугольнике. Получили противоречие. Значит, для любого.

Достаточность. Положим .

Так как , то его можно покрыть открытыми прямоугольниками,. Выделим изконечное подпокрытие. Рассмотрим. Оно является компактом. Для любого,.Из определенияполучим, что существует открытый квадратP такой, что колебание функции на нем меньше чем . КвадратыP образуют открытое покрытие множества К. Выделим из него конечное покрытие II. Продолжим стороны прямоугольников, составляющих I и II до пересечения со сторонами прямоугольника А. Получим разбиение Т, для которого

.

Таким образом, .

Теорема доказана.

Следствия из критерия Лебега.

1. .

2. .

3. Пусть . Тогда.

ЛЕКЦИЯ 5

Измеримость множества по Жордану в R². Критерий измеримости. Достаточное условие измеримости. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости

1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости

Пусть - ограниченное множество, А- прямоугольник, ,

- характеристическая функция множества E.

Определение. Множество Е измеримо по Жордану или имеет объем , если, при этом.

Это определение на самом деле не зависит от выбора прямоугольника А и в этом смысле является корректным.

Пусть - множество всех внутренних точек множества Е,

- внешность множества Е или внутренность дополнения множества Е,

-граница множества Е.

Теорема. (Критерий измеримости по Жордану). Е измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда

Доказательство. Е измеримо по Жордану .

Докажем равенство , т.е. что множество точек разрывахарактеристической функции совпадает с границей множества.

Рассмотрим три случая для точек прямоугольника А

1. Точка . Тогда существует окрестностьтакая, что.

2. Точка существует окрестностьтакая, что

.

3. Точка

.