- •Иванов в.И.
- •Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши
- •1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику
- •2. Критерий Коши
- •2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
- •3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа
- •1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости
- •2.Достаточное условие измеримости
- •3. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •Лекция 6
- •Лекция 8
- •2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
- •2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
- •2. Сходимость кратных интегралов
- •3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
- •4. Сходимость кратных интегралов
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля
- •3. Векторные линии и векторные трубки
- •Лекция 21
- •Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы
- •1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме
- •2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал
- •2. Площадь поверхности сферы в Rn
- •Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
- •1. Ориентация на поверхности и ее границе
- •2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
1. Ориентация на поверхности и ее границе
Вначале рассмотрим ориентацию пространства . Вимеется стандартный ортогональный базис
Под ориентацией пространства понимают определенный порядок этих базисных векторов.
Всего существует ориентаций. Все эти ориентации можно разбить на 2 класса. 2 ориентации попадут в один класс, если от одной ориентации к другой можно перейти за четное число транспозиций. Понятно, что ориентацию пространства можно осуществлять и на языке координат вектора.
-мерная поверхностьопределяется при помощи отображения,Ориентация поверхности – это определенный порядок параметров
Граница поверхности . Так как граница--мерная поверхность в, то ее ориентацию можно задать при помощи нормали, определяемой заданным порядком параметров. Тогда ориентация набудет определять ориентацию на, согласованную с ориентацией на.
2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
Пусть -дифференциальная форма порядкав пространстве
, - -мерная поверхность в, ориентированная порядком
,
- сужение формы на поверхностьс учетом её ориентации.
Определение. Интегралом от дифференциальной формы порядкапо поверхности, ориентированной, называется число
,
равное -кратному интегралу от функциипо области.
ЛЕКЦИЯ 26
Общая формула Стокса. Частные случаи общей формулы Стокса
1. Общая формула Стокса
Пусть ,,--мерная ориентированная поверхность,
- дифференциальная форма порядка ,
- граница области ,- граница или край поверхности
. Ориентация на границе согласована с ориентацией на.
Теорема (Общая формула Стокса). При указанных предположениях справедливо равенство
.
2. Частные случаи общей формулы Стокса
Рассмотрим несколько частных случаев.
1) ,
- формула Ньютона — Лейбница.
2) ,
,
-кривая,,
- работа потенциального векторного поля.
3) ,
,
- формула Грина.
4) ,
-Формула Стокса.
5) ,
,
-формула Гаусса -Остроградского.