- •Иванов в.И.
- •Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши
- •1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику
- •2. Критерий Коши
- •2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
- •3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа
- •1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости
- •2.Достаточное условие измеримости
- •3. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •Лекция 6
- •Лекция 8
- •2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
- •2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
- •2. Сходимость кратных интегралов
- •3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
- •4. Сходимость кратных интегралов
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля
- •3. Векторные линии и векторные трубки
- •Лекция 21
- •Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы
- •1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме
- •2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал
- •2. Площадь поверхности сферы в Rn
- •Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
- •1. Ориентация на поверхности и ее границе
- •2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
Лекция 8
Формула Дирихле-Лиувилля. Вычисление объема n-мерного
симплекса и шара
1. Формула Дирихле-Лиувилля
Пусть -n-мерный симплекс,
, - интегрируема по Риману (несобственном смысле),
.
Рассмотрим кратный интеграл
.
Справедлива следующая формула Дирихле-Лиувилля:
Здесь - гамма-функция,.
Эта формула позволяет вычислить объемы некоторых тел.
2. Вычисление объема n-мерного симплекса и шара
Объем симплекса . Имеем
Объем октаэдра :
Объем шара :
Объем шара произвольного радиуса
.
ЛЕКЦИЯ 9
Криволинейные координаты в Rn. Координатные линии и поверхности. Коэффициенты Ламе. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат. Формула замены переменных в кратном интеграле
1. Криволинейные координаты в Rn. Координатные линии и поверхности. Коэффициенты Ламе
Будем говорить, что отображение определяет криволинейные координатыв области, если:
-биекция между
-гладкое отображение, т.е или
Якобиан отображения отличен от 0.
Здесь
, .
Если в отображении зафиксируем все переменныекроме одной, то получим параметрическое уравнение кривой, называемое координатной линией. Если фиксируем все переменныекроме двух, то получим координатную поверхность размерности 2 и т.д.
Касательные векторы к координатным линиям имеют вид:
Модули этих векторов называются коэффициентами Ламе
.
В якобиане касательные векторы стоят по столбцам, поэтому геометрический смысл модуля Якобиана - объем параллелепипеда, натянутого на касательные векторы.
2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
Криволинейная система координаты называется ортогональной, если для:.
В случае ортогональных координат модуль Якобиана .
3. Формула замены переменных в кратном интеграле
Теорема (о замене переменных в кратном интеграле) Если -компактные, измеримые по Жордану множества в,- криволинейная система координат, функция, тои
.
ЛЕКЦИЯ 10
Полярная система координат в R2. Двойной интеграл в полярных координатах. Цилиндрическая система координат в R3. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
1. Полярная система координат в R2. Двойной интеграл в полярных координатах
Связь полярных координат с декартовыми имеет вид:
.
Найдем касательные векторы и коэффициенты Ламе:
Полярные координаты – ортогональные:
.
Область называется правильной областью в полярной системе координат, если ее можно записать системой неравенств
.
В этом случае формула замены переменных выглядит следующий образом:
.
2. Цилиндрическая система координат в R3. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Цилиндрические координаты являются обобщением полярных координат. Точка задается полярными координатами проекции на плоскость и координатой по оси .
Название координат связано с тем, что уравнение прямого кругового цилиндра в них имеет наиболее простое уравнение .
Соответствующее отображение имеет вид:
Якобиан для них такой же, как и для полярных координат:
.
В этом случае формула замены переменных выглядит следующим образом:
.
ЛЕКЦИЯ 11
Сферическая система координат в R3. Тройной интеграл в сферических координатах. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность. Вычисление объема n-мерного шара
1. Сферическая система координат в R3. Тройной интеграл
в сферических координатах
В сферической системе координат точка задается тройкой , где - расстояние от точки до начала координат, - полярный угол проекции точки на плоскость (иначе говоря, угол , где - проекция точки ), - угол между и .
Название связано с тем, что у точек на сфере с центром в начале координат .
Формулы перехода имеют вид:
Найдем касательныу векторы, коэффициенты Ламе и убедимся в ортогональности сферических координат:
Сферические координаты обычно используют только в случае, когда тело в сферических координат имеет следующее описание:
В этом случае формула замены переменных выглядит следующим образом: