- •Иванов в.И.
- •Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши
- •1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику
- •2. Критерий Коши
- •2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
- •3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа
- •1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости
- •2.Достаточное условие измеримости
- •3. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •Лекция 6
- •Лекция 8
- •2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
- •2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
- •2. Сходимость кратных интегралов
- •3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
- •4. Сходимость кратных интегралов
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля
- •3. Векторные линии и векторные трубки
- •Лекция 21
- •Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы
- •1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме
- •2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал
- •2. Площадь поверхности сферы в Rn
- •Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
- •1. Ориентация на поверхности и ее границе
- •2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
2. Критерий Коши
Для того чтобы функция была интегрируема на прямоугольникенеобходимо и достаточно ,чтобы для любогосуществовалотакое, что для любых разбиенийи любых их разметоквыполняется
.
ЛЕКЦИЯ 2
Две леммы Дарбу. Эквивалентность двух определений интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Римана интегрируемости по прямоугольнику. Интегрируемость непрерывной функции
Две леммы Дарбу
Лемма 1. .
Лемма 2. .
2. Эквивалентность двух определений интеграла Римана по прямоугольнику
Теорема. Оба определения интеграла Римана является эквивалентными, т.е
Если в смысле первого определения, тов смысле определения второго и обратно.
Доказательство.
. Доказательство опирается на первую лемму Дарбу.
Если и не зависит от, то:. Отсюдабудет
. Поэтому . Переходя к пределу при, получим,.
. Доказательство опирается на вторую лемму Дарбу.
3. Критерий Римана интегрируемости по прямоугольнику
Теорема (критерий интегрируемости Римана).
, т.е интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда.
Будем использовать запись .
Здесь - колебание функция на прямоугольнике.
Следствие. является линейным пространством и кольцом.
Доказательство. Доказательство сводится к проверке замкнутости относительно сложения и умножения.
Для доказательства оценим колебания на прямоугольнике суммы и произведение функций.
а..
Имеем
.
Далее .
б.
Имеем
Далее все очевидно.
Интегрируемость непрерывной функции
Теорема. , т.е. если функциянепрерывна, то она интегрируема.
Доказательство. Имеем .
Если , А- компактное, торавномерно непрерывна на А, поэтому
,такое, что,ибудет.
Итак, .
Отсюда, по критерию Римана .
ЛЕКЦИЯ 3
Множества меры и объема нуль. Их свойства. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа. Описание множества точек разрыва
Множества меры и объема нуль. Их свойства
Определение 1. Множество имеет объем нульили меру Жордана нуль, если для любогосуществует конечный набор прямоугольников, для которого
,
.
Определение 2. Множество имеет меру нульили меру Лебега нуль, если для любогосуществует прямоугольники, для которых
,
.
Понятно, что множество объема нуль имеет и меру нуль. Обратное утверждение не верно.
Лемма 1. Счетное объединение множеств меры нуль есть множество меры нуль.
Доказательство. Пусть . Тогдасуществует набор:
,
.
Тогда для прямоугольников :
,
.
Т.е. .
Лемма 2. Компактное множество меры нуль имеет и объем нуль.
Доказательство. Пусть . Для любогосуществуют открытые прямоугольники:
,
.
Так как Е компактное и - открытое покрытие Е, то по определению компактного множества существует конечный набор:
,
.
Т.е. .
2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
Определение 3. Колебанием функция в точке называется число.
Справедливы следующие утверждения.
Лемма 3. -точка непрерывности ограниченной функциитогда и только тогда, когда.
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция непрерывна в точке. Предположим, что. Рассмотрим. Из определенияполучим, что существуют точкитакие, что.
Кроме того, имеем . Это противоречит непрерывности функциив точке. Следовательно.
Достаточность. Поскольку , то для любогосуществуеттакое, что для любыхимеем. Полагая, получаем непрерывность в точке. Лемма доказана.