Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Иванов в.И.

профессор, д.ф.-м.н.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

Математический анализ

(Часть 4)

Направление подготовки: 010200 «Математика и компьютерные науки»

Профиль подготовки: «Математическое и компьютерное моделирование»

Направление подготовки: 010800 «Механика и математическое моделирование»

Профиль подготовки: «Общий профиль»

Форма обучения: очная

Тула 2013 г.

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол № 1 от 02 сентября 2013 г.

Зав. кафедрой________________В.И. Иванов

СОДЕРЖАНИЕ

Тула 2013 г. 1

Лемма 4. множество - ограниченное и замкнутое, т.е. компактное. 10

Двойной интеграл позволяет вычислить массу, координаты центра тяжести, статичные моменты первого и второго порядка плоской пластинки, начиненной веществом. 32

и , 32

и . 33

53

- Формула Стокса. 63

5) , 63

ЛЕКЦИЯ 18. Поверхностный интеграл 2-го рода. Его связь с поверхностным интегралом 1-го рода. Теорема Гаусса-Остроградского 44

ЛЕКЦИЯ 19. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути вR³ 47

ЛЕКЦИЯ 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки 49

ЛЕКЦИЯ 21. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Векторная интерпретация формул Стокса и Гаусса-Остроградского 51

ЛЕКЦИЯ 22. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка. Гармоническое поле и уравнение Лапласа. Гармонические функции. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей и уравнение Пуассона. Вторая формула Грина 52

ЛЕКЦИЯ 23. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы 54

ЛЕКЦИЯ 24. -мерные гладкие поверхности в Rⁿ. Площадь поверхности. Площадь поверхности сферы вRⁿ 57

ЛЕКЦИЯ 25. Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности 60

ЛЕКЦИЯ 26. Общая формула Стокса. Частные случаи общей формулы Стокса 61

Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши

1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику

Пусть -параллелепипед в(замкнутый параллелепипед с гранямипараллельными координатным плоскостям), - объем параллелепипеда, функция-ограниченная.

Необходимо определить число связанное с , называемое интегралом отпо множеству:.

Для простоты все построения будем вести для . В этом случае

,

.

Пусть ,

- разбиения отрезков ,

-разбиение прямоугольника ; под разбиениемпрямоугольникабудем понимать и маленькие прямоугольники

.

Этих прямоугольников будет . Пусть далее

- мелкость или диаметр разбиения (максимальная диагональ прямоугольников),

- разметка разбиения ,

размеченное разбиение.

В дальнейшем индексы у прямоугольников будем опускать, т.е будем писать.

Определим 3 типа интегральных сумм:

• ,

- интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению ;

• - верхняя сумма Дарбу;

• -нижняя сумма Дарбу.

Отметим следующие свойства этих сумм

1. Для любого :.

2. При измельчении разбиения (получается путем добавления новых точек наили) верхние суммы Дарбу не увеличиваются, а нижние суммы Дарбу не уменьшаются.

3. Для любых :,

Действительно, если измельчение каккак ито.

4. Если - множество всех нижних сумм Дарбу,- множество всех верхних сумм Дарбу, тои по аксиоме непрерывности существует:.

Определение 1. - нижний интеграл Дарбу.

Определение 2. - верхний интеграл Дарбу.

5. Для любых :.

Определение 3. Первое определение интеграла Римана.

Будем говорить, что функция интегрируема по Риману на прямоугольникеи интеграл равен числу, если существует, не зависящий от разметки, т.е для любогосуществуеттакое, что для любого разбиенияи любой разметкиразбиения:.

Будем писать .

Определение 4. Второе определение интеграла Римана.

Будем говорить, что функция интегрируема по Риману на прямоугольникеи интеграл равен числу, если.