Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы

1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме

Пусть открытое множество, точка , .

Определение. Дифференциальной формой порядкаk в области называется выражение:

где функции - гладкие,- внешнее произведение (операция), обладающее свойствами:

1) - ассоциативность;

2) -антисимметричность;

3) некоторые функции – полилинейность.

Определим замену переменных в дифференциальной форме. Пусть - дифференциальная форма порядкаk в пространстве ,,, открытое - замена переменных, т.е.

Дифференциалы этих функций имеет вид:

Замена переменных в дифференциальной формепорядкаk в пространстве определяет новую дифференциальную формупорядкаk в пространстве по правилу:

2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал

Пусть - дифференциальная форма порядкаk в .

Дифференциалом дифференциальной формыпорядкаk в называется новая дифференциальная форма порядкаk+1 в , получаемая по правилу:

Теорема. Для любой формы .

Доказательство. Достаточно доказать для формы вида

.

Имеем

Рассмотрим следующие случаи:

1) если соответствующие слагаемые =0;

2) если весть два слагаемых, сумма которых =0. Теорема доказана.

3. Замкнутые и точные дифференциальные формы

Дифференциальная форма называется замкнутой в области, есливU.

Дифференциальная форма называется точной в области, если.

Лемма. Всякая точная форма является замкнутой.

Доказательство вытекает из того, что - замкнутая форма.

Теорема Пуанкаре. Если - гладкая форма и U – односвязная область, то всякая замкнутая форма является точной.

ЛЕКЦИЯ 24

-мерные гладкие поверхности в Rⁿ. Площадь поверхности. Площадь поверхности сферы в Rⁿ

1. -мерные гладкие поверхности вRⁿ. Площадь поверхности

Определение. -мерная поверхностьS в задается параметрически при помощипараметров следующим образом:

Если -мерная поверхность в.- дифференциальная форма порядкаk в , то ее сужение наS есть новая дифференциальная форма порядкаk в , определенная по правилу:

Пусть ,

- k-мерная поверхность в ,.

Пусть - множество изk векторов в .

- объем параллелепипеда, натянутого на эти k векторов.

Этой объем можно определить по индукции:

Пусть матрица порядка имеет вид. Эта симметричная матрица называется матрицей Грама. Её определитель обозначим

.

Отметим некоторые свойства определителя Грама:

1.,

2. - линейны зависимы.

Отметим, что

Теорема. .

Запишем касательные векторы к поверхности :

-

Определение. Площадью поверхности называется число.

Понятие площади поверхности позволяет легко определить поверхностный интеграл первого рода. Пусть --мерная поверхность ви задана функция.

Определение. Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхностиназывается число.

В частности, .

Если векторы - попарно ортогональны то.

2. Площадь поверхности сферы в Rn

Пусть - сфера радиуса. Будем использовать ортогональную сферическую систему координат для параметрической записи сферы:

,

Найдем касательные векторы и их длины:

………….

Отсюда

.

Площадь поверхности сферы равна