V. Адаптивные методы прогнозирования.

Метод экспоненциально-взвешенного среднего.

Все адаптивные методы основаны на идее экспоненциально-взвешенного среднего (ЭВС):

, (2.37)

где - фактическое значение показателя, соответствующее текущему моменту времени t;

 - параметр сглаживания;

- предыдущее значение ЭВС в момент времени t-1. В момент времени t=1 предыдущее значение ЭВС определяют на основе экспертной оценки.

или

, (2.38)

где - прогноз на следующий момент времени,

- текущее значение ошибки прогноза.

Метод адаптивной скорости реакции.

Если в изменении показателя предполагаются переходы среднего значения на новый уровень и дальнейшие колебания относительно нового уровня, то для прогнозирования показателя можно использовать метод адаптивной скорости реакции. Этот метод основан на адаптации к поступающим данным. В качестве параметра сглаживания здесь используется не постоянная величина , а рассчитываемое для каждого момента времени значение трекинг-сигнала:

, (2.39)

где - экспоненциально взвешенная ошибка:

, (2.40)

- предыдущее значение экспоненциально взвешенной ошибки (в момент времени t=1 предыдущее значение экспоненциально взвешенной ошибки принимается равным нулю),

- среднее абсолютное отклонение ошибки (Mean Absolute Deviation):

, (2.41)

- предыдущее значение среднего абсолютного отклонения ошибки (в момент времени t=1 предыдущее значение среднего абсолютного отклонения принимается равным 0,1.

Прогноз на следующий момент времени по модели адаптивной скорости реакции рассчитывается следующим образом:

, (2.42)

где - значение текущего прогноза показателя (в момент времени t=1 текущее значение прогноза определяется на основе экспертной оценки).

Метод Холта.

Если среднее значение прогнозируемого показателя с течением времени меняется в соответствии с линейной функцией, то прогноз на  моментов времени вперед можно рассчитать по методу Холта:

, (2.43)

где - оценка стационарного фактора:

, (2.44)

- оценка линейного роста:

, (2.45)

- предыдущее значение оценки линейного роста (в момент времени t=1 предыдущее значение оценки линейного роста принимается равным нулю),

- предыдущее значение стационарного фактора (в момент времени t=1 предыдущее значение стационарного фактора определяется на основе экспертной оценки).

Холт рекомендует следующие значения констант: А=0,1, В=0,01. Однако при рассмотрении конкретных экономических показателей значения констант могут корректироваться.

В условиях сильного линейного роста метод Холта дает заниженные значения прогноза.

Метод двойного сглаживания Брауна.

Этот метод используется, как и предыдущий, в условиях линейного роста показателя, однако является более точным.

Прогноз на  моментов времени вперед определяется по формуле

, (2.46)

где , (2.47)

- экспоненциально-взвешенное среднее, рассчитанное по формуле (2.37),

- двойное экспоненциально-взвешенное среднее:

, (2.48)

- предыдущее значение двойного ЭВС (в момент времени t=1 предыдущее значение двойного ЭВС принимают равным нулю),

. (2.49)

Если период упреждения =1, прогноз можно рассчитать по формуле

. (2.50)

Метод адаптивного сглаживания Брауна (взвешенный метод наименьших квадратов).

Этот метод, как правило, дает наилучшие результаты прогнозирования в условиях линейного роста прогнозируемого показателя.

Прогноз на  моментов времени вперед:

, (2.51)

где , (2.52)

, (2.53)

, (2.54)

В момент времени t=1 предыдущее значение стационарного фактора определяют на основе экспертной оценки, предыдущее значение оценки линейного ростапринимают равным нулю.

Браун рекомендует выбирать =0,8. Для конкретных случаев прогнозирования этот параметр можно корректировать.

Сезонно-декомпозиционная модель Холта-Винтера.

Используется для описания комбинации линейного и сезонно-аддитивного тренда. Модель предполагает, что характеристики временного ряда – стационарность, линейность и сезонность – могут быть разделены, изучены и оценены изолированно. Окончательный прогноз осуществляется сведением прогнозов различных элементов в один.

а) Оценка стационарного фактора:

, (2.55)

б) Оценка линейного роста:

, (2.56)

в) Оценка сезонного фактора:

, (2.57)

где - коэффициент сезонности, соответствующий моменту времени t,

- коэффициент сезонности, соответствующий моменту времени t-L, то есть сдвинутому на L моментов времени назад. L – длина сезонного цикла или количество временных отрезков в цикле (для месяцев L=12, для кварталов L=4).

Коэффициент сезонности представляет собой отношение значения текущего наблюдения к среднестационарному значению показателя. Коэффициент сезонности можно найти по формуле

, (2.58)

при этом для расчета стационарного фактора можно использовать формулу (2.37), если среднее значение показателя за год меняется незначительно, и по формулам (2.44), (2.52), если среднее значение показателя имеет тенденцию к росту.

Рекомендуемые значения констант для формул (2.55) – (2.57): А=0,2; В=0,2; С=0,5.

Прогноз на  моментов времени вперед, составляющие которого определены по формулам (2.55) – (2.57), рассчитывается по формуле

. (2.59)

При использовании модели Холта-Винтера рекомендуется следующий алгоритм расчета. По данным динамики показателя за предыдущий год рассчитывают оценки коэффициентов сезонности (2.58). В качестве момента времени t=1 принимают значение показателя в январе или I квартале года, предшествующего текущему. Затем по формулам (2.55) – (2.57) находят оценки стационарного фактора, линейного роста и коэффициентов сезонности для текущего года. Прогноз осуществляется на базе найденных составляющих элементов по формуле (2.59), где обозначение коэффициента сезонности соответствует коэффициенту сезонности для того же месяца или квартала, но предыдущего года, например, делая прогноз на май 2013 года, необходимо использовать значение коэффициента сезонности, рассчитанное для мая 2012 года.