Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dilman_tipovoy_raschet

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра математического анализа

51(07) Д-436

В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина, А.А. Эбель

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Сборник задач

Часть 1

Челябинск Издательство ЮУрГУ

2005

УДК 510(022)(076.1)+517.3 (076.1)+517.5(076.1)+517.9(076.1)

Дильман В.Л., Ерошкина Т.В., Эбель А.А. Типовые расчеты по курсу высшей математики: Сборник задач/ Под ред. В.Л. Дильмана. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2005. – Ч.1. – 104 с.

Типовые расчеты по курсу высшей математики содержат контрольные задания по теории матриц, векторной алгебре, аналитической геометрии, теории пределов и непрерывности, производным и их приложениям к исследованию функций.

Сборник задач предназначен для студентов всех специальностей и факультетов технического и экономического направлений.

Одобрено научно-методическим советом по математике и механике.

Рецензенты: д.ф.-м.н., проф. М.М. Кипнис, к.ф.-м.н., доц. И.Н. Муравьева.

Введение

Сборник задач содержит типовые расчеты по трем разделам курса «Высшая математика»: теории матриц, векторной алгебре и аналитической геометрии; теории пределов и непрерывных функций; производным и их приложениям к исследованию функций. Он может использоваться также и как пособие по проведению практических занятий по указанным разделам.

Программа курса «Высшая математика» для студентов всех специальностей технического и экономического направлений предусматривает выполнение студентами системы типовых расчетов. Каждый типовой расчет является заданием по целому разделу курса и содержит задачи для самостоятельного решения. Задачи выдаются по вариантам и являются индивидуальными для студента в каждой академической группе.

Решения задач выполняются студентом в отдельной тетради поэтапно, по мере изучения учебного материала на лекциях и практических занятиях, после чего назначается защита типового расчета, которая может проводиться устно или письменно (по усмотрению преподавателя, ведущего в данной группе практические занятия). Выполняя типовой расчет, студент должен переписать условия соответствующей задачи, написать подробное решение, выделив ответ. Там, где необходимо, дать краткие пояснения по ходу решения со ссылками на соответствующий теоретический материал.

Типовой расчет №1 Матрицы и системы линейных уравнений.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

В а р и а н т

Вычислите определитель

−5

−4

−1

−4

−8

−1

Найдите матрицу C:

1 0 −5

3 0 1 −2

C =((A

)

B −2B) ;

2 1 8

2 5 0 3

A =

;

B =

−2 4 3

−1 0 −2 −2

3. Решите систему методом Крамера:

2x +6y +5z =1,

+3y −2z = 0,

+4y −3z = 2.

4. Решите матричное уравнение

2 1 0

−2

X =

−1 1 0

−1 4

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 −3x2 +4x3 − x4 =1,

+3x2

−5x3 +5x4

=10,

7x1

+ 2x2

−3x3 + 2x4

= 3.

2x1

6. Проверьте, что векторы образуют базис: a (2; 0; 3), bG(0; −2; 1),

(1; 4; 0). Вектор dG

составляет с осью OX угол 450, с осью OY угол

1200, с осью OZ острый угол;

= 2. Какой угол вектор d образует с

осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c .

7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB

отношении 1: 2 , а

точка E

делит

отрезок

BC в

JJJG

JJG

JJJG

JJG

отношении 3:1. Пусть AB = a ,

BC = b . Найдите векторы DF и

AF.

8. Пусть

=3,

= 2,

G G

= 2a

−b,

q = a

+3b ,

(a; b)=1200 .

Найдите косинус угла между векторами p и q .

	9.	Найдите координаты вектора x из условий: вектор x
ортогонален векторам aG(1; 0; 2) и b(2; 1; 1), а его проекция на вектор
cG	(1; −2; 2) равна 10.		JJG	JJG	JJJG
	10.	В тетраэдре ABCD
			AB(3; 0; 2),	AC(1; −5; 0),	AD(0; 3; −2).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины A на грань BCD.

11. Уравнения основания и боковой стороны равнобедренного

треугольника ABC соответственно	3x −y −4 =0 и x −2y −8 =0.
Точка D(−1; 3) лежит на боковой	стороне. Запишите уравнение

третьей стороны.

12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(1; −1; 0) и две скрещивающие прямые:

l :

x −1

z + 2

x +1

y −2

−2

−3 1

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(1; 2; 3), B(2; 3; 4),

C(1; 0; 1), A1 (2; 4; 6). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(3; 2) и прямой y = −4. Полученное уравнение приведите к

каноническому виду и постройте кривую.

15. Установите, какая кривая определяется уравнением

y = 3 −	1	4x − x2 , изобразите ее на координатной плоскости, найдите
	2

координаты фокусов этой кривой.

В а р и а н т 2

1.	Вычислите определитель										−1
							2		3			2
							2		3			2
							1		2		−3	1	.
							4	−2			1	0
							3		2		2	3
2.	Найдите матрицу C:								1		−1	3
									1		−1	3
	C = (2A	T	B −BA)	T	;	A			2	0 0				;
	C = (2A		B −BA)		;	A		=	2	0 0				;
									4		3	−5
									4		3	−5

3. Решите систему методом Крамера:

3x + 2y +3z = −2,−4x −3y −5z =1,

5x + y −z = 3. 4. Решите матричное уравнение

−1		0	3	−13		0
				−13		0
X	1	2	0	=	39	13
	3	1			39	13
	3	1	−1

	1	0	−4
	−7	0	−8
B =				.
	9	−5	−3

260 .

5. Решите систему методом Гаусса:

		4x1 + 2x2 + x3 = 7,

		x1 − x2 + x3 = −2,
			+3x2 −3x3 =11,
		2x1	+3x2 −3x3 =11,
			+ x2 − x3 = 7.
		4x1	+ x2 − x3 = 7.
	6. Проверьте, что векторы образуют базис: aG(1; 1; 1), bG(1; 1; 2),
cG	(1; 2; 3). Вектор dG	составляет			с осью OX тупой угол,Gс осью OY
угол 1350, с осью OZ угол 600;				d	= 4. Какой угол вектор d образует с
осью OX? Разложите вектор d					G G
					G G
			по базису a, b, c .

7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении

3:1, а точка F делит

отрезок CD в

отношении

1: 2 .

JJG

JJJG G

Пусть AB = a

, AD = b . Найдите

JJJG

JJG

векторы AG и

BG .

=1,

= 2,

8. Пусть p = a + b, q

= a

+3b ,

(a; b)= 600 . Найдите

проекцию вектора

на вектор p .

−q

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x
ортогонален векторам aG(1; 2; −1) и b(−1; 2; 2),				образует с вектором
cG(3; 2; 1) острый угол, а модуль вектора x равен				53 .	JJG
10. В тетраэдре	SPKT	JG	JJG			(0; 2; −3).
		TS(−1; 2; 0),	TK (2; 0; −4),		TP
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины T
на грань SPK.
11. В прямоугольнике ABCD отношение сторон					AB: BC =1: 2.
Уравнение прямой	AB	3x −y +7 =0,	точка	Q(4; −1)		– точка

пересечения диагоналей. Найдите уравнения прямых AC и BD.

12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(0; 1; −2) и две скрещивающие прямые:

x + 2

−1

x = t + 2,

: y = −y

−4,

−3

+1.

z = −2t

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(2; 0; 3), B(1; 1; −1),

C(2; 3; 1), A1 (3; 2; 1). Найдите расстояние между прямыми BD и AB1.

14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(−3; −1) и прямой y =3. Полученное уравнение приведите к

каноническому виду и постройте кривую.

15. Установите, какая кривая определяется уравнением

x = 2 −	1	y2 −2y +5 , изобразите ее на координатной плоскости,
	2

найдите координаты фокусов этой кривой.

	В а р и а н т							3
1.	Вычислите определитель
		2		3		4	5
		2		3		4	5
		3		4		5	6	.
		4		6		8	10
		2		3		7	8
2.	Найдите матрицу C:		1	2		−1 3				1		−3
			1	2		−1 3				1		−3
			0		5		−1	−4			2	−4
	C = 2BBT −AT ; A =		0		5		−1	−4	;	B =	2	−4	.
			3	−3 −5 7							8	0
			3	−3 −5 7							8	0
			8	2		1 −2					0	−1

3. Решите систему методом Крамера:

2x +3y + z = 0,7x +9y +5z = −3,

3x + 4y +3z = 5.

	4.	Решите матричное уравнение
		2 −1 1 1				−8 3
			X			=	.
		0 2	0 5			4 2
	5. Решите систему методом Гаусса:
		x1 − x3 + x4 = 3,
			+3x2 − x			3 − x4 = 2,
		2x1	+3x2 − x			3 − x4 = 2,
			−3x4 = −6,
		5x1	−3x4 = −6,

		x1 + x2 + x3 + x4 = 2.					a (5; 4; 3), bG(3; 3; 2)
cG	6.	Проверьте, что векторы образуют базис:					a (5; 4; 3), bG(3; 3; 2)
cG	(8; 1; 4). Вектор dG составляет с осью OX угол 1200, с осью OY угол
1350, с осью OZ острый угол;				d			G
1350, с осью OZ острый угол;				d	= 6. Какой угол вектор d образует с
						G G
						G G
осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c .

отрезок AB

отношении

2 :1, а

точка E

делит

отрезок BC

JJJG

JJG

отношении 3: 2 . Пусть AB = a

AC = b . Найдите вектор BF .

8. Пусть

=3,

= 2,

p = 2a

−b,

q = a

+3b ,

(a; b)=1200 .

Найдите

длину

диагоналей

параллелограмма, построенного

на

векторах

p и q .

x (x; −1; x),

9. Найдите

координаты

вектора

если

проекция

вектора xG

×aG

(1; 2; 1)

на вектор

b(2; 6; 3) равна 1.

JJJG

10. В тетраэдре ABCD

JJG

BA(−2; 4; −

6), BC(0; −1; 2), BD(4; 0; −2).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины B

на грань ACD.

сторона AC : y +1 = 0 ,

11. В

∆ABC

известны: вершина

B(2; 3),

высота CH : x + y −5 = 0.

Найдите уравнение средней линии ∆ABC ,

параллельной стороне AB.

12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(0; −3; 4) и две скрещивающие прямые:

l :

x −4

y +1

z −2

y +5

−1

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(3; 2; 1), B(1; 1; 1),

C(2; −1; 1), A1 (2; 2; 3). Найдите расстояние между прямыми AC и

A1B.

14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(2; 1) и прямой y = −3. Полученное уравнение приведите к

каноническому виду и постройте кривую.
15. Установите,			какая	кривая	определяется	уравнением
y =1−	3	8x − x2 −12 ,	изобразите ее		на координатной	плоскости,

2

найдите координаты фокусов этой кривой.

				В а р и а н т						4
1.	Вычислите определитель
					2	5	0	4
					2	5	0	4
					1	7	0	2	.
					3	8	1	6
					4	9	3	8
2.	Найдите матрицу C:												1	0	−1	−2
													1	0	−1	−2
C = (2AT A +7B)		T	;	2 0 −4 −3							;		1	−1 0 −4
C = (2AT A +7B)			;	A =		−1 4 7					;	B =	0	4 −2 3			.
				1		−1 4 7							0	4 −2 3
													3	0	−6	9
3. Решите систему методом Крамера:													3	0	−6	9
3. Решите систему методом Крамера:
				x + 2y +3z = 4,
						+ y −2z = 9,
				3x		+ y −2z = 9,
						+ 4y +5z = 5.
				2x		+ 4y +5z = 5.

	4.	Решите матричное уравнение
			2 1 1 1 4 13
					X	=	−2	.
				0 2 0 3 4			−2
	5.	Решите систему методом Гаусса:
			2x1 − x2 + x3 − x4 =1,
					− x2 −3x	4 = 2,
			2x1		− x2 −3x	4 = 2,
					− x3 + x4	= −3,
			3x1		− x3 + x4	= −3,
					+ 2x2 −2x3 +5x4		= −6.
			2x1		+ 2x2 −2x3 +5x4		= −6.
	6.	Проверьте, что		векторы		образуют		базис: aG(4; −3; 2),
bG	(2; −2; 1), cG		(2; −1; 0). Вектор d составляет с осью OX угол 1350, с

осью OY тупой угол, с осью OZ угол 120D ; d =8. Какой угол вектор

G G G G d образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c .

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.05.20151.07 Mб41Denokan-StabilizedAppAndFlareVSHardLanding.pdf
#
16.08.2019581.12 Кб28department_209.doc
#
08.05.20157.83 Mб42Design Patterns Explained. Williams 2002.pdf
#
09.05.20151.49 Mб20Design patterns.pdf
#
08.05.20152.11 Mб673Die deutsche Sprache.doc
#
09.05.20151.62 Mб99dilman_tipovoy_raschet.pdf
#
08.05.20151.37 Mб58DiplomKazaeva.docx
#
21.09.2019278.02 Кб4Diplomnaya_rabota_pamyatka.doc
#
27.10.201812.94 Mб3Diplonote_v1.3 RC 6.doc
#
08.05.2015374.27 Кб21Distsiplinarny_ustav_VS_RF.doc
#
08.09.2019530.43 Кб25DKR_1.doc