dilman_tipovoy_raschet

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 2 :1, а точка F делит

JJG G

JJG

G

отрезок CD в отношении 2 : 3. Пусть AB = a

, AD

= b . Найдите вектор

JJJG

DG .

G

G

G

G

G

8. Пусть

p = 2a

+ 4b ,

q = a

−b,

a

= 2 ,

b

=1 и векторы p и q

G

перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q .

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(2; 1; −2)

и b(0; 1; 2), а его

проекция на

вектор cG

(2; 3; 6) равна 8.

JJG

JJG

JJJG

10.

В

тетраэдре OPNK

OP(4; 0; 3), ON(−1; 5; 0),

OK (0; −6; 5).

11.

Высота и медиана, проходящие через разные вершины

треугольника ABC, лежат на прямых, заданных уравнениями

соответственно

x −3y +5 = 0

и x + y −9 = 0 . Найдите

уравнения

сторон AB и AC, если B(5; 10).

12.

Составьте

уравнение

прямой,

проходящей через точку

A(2; 0; −1) и две скрещивающие прямые:

x

y −2

z

−2

x = −3t + 2,

,

l1 :

=

=

l2 : y = t,

−1

1

2

z = −1.

13.

В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1: A(−1; 2; 1),

B(−2; 1; 2),

В а р и а н т

5

1.

Вычислите определитель

−2

3

1

1

0

1

2

0

.

−1

2

4

2

1

−3

0

0

2. Найдите матрицу C:

2 3 −1

−1 0 5

C = (A

T

+B)(2B

T

−A);

A =

2

5

−4

;

0

1 −3

B =

.

1 0 8

2

−2 −4

3.

Решите систему методом Крамера:

5x + 2y +3z = 25,

x + 2y = 25,

+ 4y +7z = 25.

3x

4.

Решите матричное уравнение

−5

0

3

0

2

5

=

(−41

82

123).

X

−1

1

−1

5.

Решите систему методом Гаусса:

x1 + 2x2 +3x3 = 6,

+3x2 + 4x3 = 9,

2x1

+ 4x2 +5x3 =12,

3x1

− x2

−x3 = −1.

x1

aG(2; −3; 1),

6.

Проверьте, что

векторы

образуют

базис:

bG

(3; −3; 1), cG

(2; −1; 2). Вектор d

составляет с осью OX угол 60D, с

осью OY угол 135D, с осью OZ тупой угол;

d

=10. Какой угол вектор

G

G G G

d образует с осью OZ? Разложите вектор d

по базису a, b, c .

отрезок AB

в

отношении

3:1,

а точка E

делит отрезок

BC в

отношении 2

JJJG

G

JJG

G

JJG

JJG

:1. Пусть AB = a

, BC = b . Найдите векторы FC и

AF.

8. Пусть

G

G

G G G

G

a

=3,

b

= 2

и

G

= 2 13 . Найдите

p

= 2a

−b, q = a

−2b,

p

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(2; 0; −3) и b(3; −1; 1), образует с вектором

cG(−2; 1; 1) тупой угол, а модуль вектора x равен

134 .

JJJJG

10.

В тетраэдре MNLK

JJJG

JJG

(0;

−3; 7),

(−6; 4; 0).

MN(−1; 0; 8), ML

MK

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины M

на грань NLK.

11.

В треугольнике

ABC

уравнение

биссектрисы

угла A

l :

x + 2

=

y −5

=

z

,

l

:

x +1

=

y +3

=

z −1

.

2

1

1

1

−1

2

0

−1

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(1; 3; 1), B(2; 4; 1),

В а р и а н т

6

1.

Вычислите определитель

−3

−2

2

4

2

−1

3

1

.

1

2

−1

0

3

1

4

−1

2.

Найдите матрицу C:

−1 2 4

1 −1 4 0

C = (8B −(A

T

)

2

)

T

;

0

1

;

−1 2 0 −4

A =

−1

B =

.

3 −6 3 −1

5 6 3

3. Решите систему методом Крамера:

x + 2y + 2z = 90,

+ y −2z = 9,

2x

−2y + z = 63.

2x

4. Решите матричное уравнение

−5

3

4

36 −18

0 1

0

−54

72

X

=

.

−2

0

2

−36

54

5.

Решите систему методом Гаусса:

3x1 + 2x

2 − x3 =1,

+ 2x3 = 5,

x1 +3x2

=11,

5x1 +8x2 +3x3

x1 + x2 =1.

aG(2; −3; 1),

6.

Проверьте,

что векторы

образуют базис:

bG(1; 5; −4), cG(4; 1; −3). Вектор d составляет с осью OX острый угол,

2π

, с осью OZ угол π;

с осью OY угол

d

= 2. Какой угол вектор d

3

4

G G

G

образует с осью OX? Разложите вектор d

по базису a, b, c .

7.

В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а

точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 2 : 3

, а точка F делит

JJG

G

JJG

G

отрезок CD в отношении 1: 2 . Пусть AB = a ,

AD

= b . Найдите вектор

JJJG

CG .

G

G

G

G

G

G

G

8.

Пусть

p = a

−2b,

q = 2a

+ b ,

a

=1,

b

= 3,

(a; b)= 600 .

Найдите косинус угла между векторами p и q .

9.

Найдите

координаты вектора

x (x; −1; x),

если

проекция

вектора xG ×aG

(4; 1; 1) на вектор b (2; 1; 2)

равна 5.

JJJG

10. В тетраэдре

SABC

JJG

JJG

5),

AB(−5; 1; 0),

AS(2; 0; −

AS(2; 0; −5).

треугольника ABC соответственно

x +2y +4 = 0 и 3x −4y +2 = 0.

Точка D(2; −1) лежит на боковой

стороне. Запишите уравнение

x −4

y +1

z −3

x = −2,

,

l1

:

=

=

l2

: y =3t

+1,

2

1

3

−4.

z = −t

13. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1:

A(2; 3; −1), B(3; 1; 4),

В а р и а н т

7

1.

Вычислите определитель

−2

1

5

3

0

2

7

1

.

2

10

−1

5

−3

−15

−6

13

2.

Найдите матрицу C:

1 3

−1 0 2 −2

C = (B −2AAT )T ;

−8

−3

A

=

5 ;

B =

3

0

0

.

−5 7 9 4

0 −1

2 4

−6 1 0 −2

3. Решите систему методом Крамера:

x + 2y +3z =12,

4x + z = 6,

6x + 2y +5z =12.

4.

Решите матричное уравнение

−6

0

4

11

−22

0

X

−2 5

−3

=

44

0

.

0

−2

1

−11

5. Решите систему методом Гаусса:

2x1 + x

2 − x3 −3x4 = 2,

+ x3 −7x4 = 3,

4x1

−3x3 + x4 =1,

2x2

+3x2 −4x3 −2x4 = 3.

2x1

aG(2; 1; 3),

6.

Проверьте, что

векторы

образуют

базис:

bG(−4; −2; −1), c(3; 4; 5). Вектор d составляет с осью OX угол

π, с

2π

4

осью OY острый угол, с осью OZ угол

;

d

= 4. Какой угол вектор

G

3

G

G

G

d образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c .

16

отрезок AB

в

отношении

2 : 3

, а

точка E

делит

отрезок

BC в

JJJG

G

JJG

G

JJJG

JG

отношении 3: 2 . Пусть AB = a

, AC = b . Найдите векторы DF и FE .

8. Пусть

G

G

G

G

G

a

=1,

b

= 4,

G G

p = 2a

−b, q =

2a

−b,

(a; b)=1200 .

Найдите проекцию вектора

G

3p +q на вектор p .

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(1; −2; 0) и

b(3; 1; 1),

а его

проекция на

вектор cG

(−1; 2; 2) равна 7.

JJJG

JJJG

JJJG

10.

В тетраэдре OMNP

MO(−2; 8; 9), MN(4; 5; 0),

MP(0; 2; −1).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины M

на грань NOP.

11.

В

равнобедренной

трапеции

ABCD

известны уравнение

B(3; 5). Найдите координаты точки D.

12.

Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

A(3; 2; −2) и две скрещивающие прямые:

l :

x −3

=

y

=

z + 4

,

l

:

x +1

=

y −3

=

z

.

2

1

0

−1 −4

2

−2

5

13.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1:

A(1; 2; 2), B(2; 3; 2),

C(3; 3; 1), A1 (4; 2; 4). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

14.

Составьте

уравнение

кривой, отношение расстояний

точек

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

x = −1+

2

y2 + 4y +13 , изобразите ее

на координатной

плоскости,

3

В а р и а н т

8

1.

Вычислите определитель

2

−1

3

0

−1

1

2

3

.

0

4

−1

−5

0

2

1

8

2.

Найдите матрицу C:

−5 0

0

4

1

−1 2 0

;

15 0 −1 1

C = −BT B −9AT ; A =

1

−2 1 3

B =

−2 7 −6 4

.

3

0

0

5

3. Решите систему методом Крамера:

x + 2y −z =10,

+3y −2z =15,

x

+5y + z = 20.

x

4. Решите матричное уравнение

−8 1

3 0

21 −42

X

=

−21 0

.

5 2

−1 2

3x1 + 2x2 −3x

3 +4x4

=1,

−2x

3 +3x4

= 2,

2x1 +3x2

−3x3 + 2x4

= 3.

4x1 + 2x2

6. Проверьте, что

векторы

образуют базис: aG(2; 3; 1),

bG(−1; 2; −2), cG(1; 2; 1). Вектор d

составляет с осью OX угол

2π

, с

3

π

осью OY угол

= 6. Какой угол вектор d

, с осью OZ тупой угол;

d

4

G G G

образует с осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c .

В а р и а н т

9

1.

Вычислите определитель

2

1

1

0

7

1

3

1

.

3

−1

1

2

1

3

2

1

2.

Найдите матрицу C:

−4 2 1

−7 14 −2

C = (3A

T

)

2

+ B

T

;

B

0 −1 5

A = −5 0 4

;

=

.

2

−2 8

−1 3 −9

3.

Решите систему методом Крамера:

6x +5y + 2z = 5,

−2y

+5z

=1,

3x

−3y

+7z

= 2.

4x

4.

Решите матричное уравнение

−1 0 0

−46 0 23

3

−5 7

69

−23 0

X

=

.

0

−9 8

−82 0 46

5.

Решите систему методом Гаусса:

3x1 −2x2 + x3 −x4 = 0,

3x1 −2x2 −x3 + x4 =1,

+2x3 +5x4 = 3.

x1 − x2

a (1; 2; 1),

bG(2; −1; 3),

6. Проверьте, что векторы образуют базис:

cG

(3; −1; 4). Вектор dG

составляет с осью OX тупой угол, с осью OY