dilman_tipovoy_raschet

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в

отношении

2

:1,

а точка

E делит отрезок

BC

в

JJJG

G

,

JJG

G

JJJG

JJG

отношении 3:1. Пусть AB = a

BC = b . Найдите векторы DF и AF.

8.

G

G

G

G

G

a

= 2 ,

b

= 3 и векторы p

и

q

Пусть p

= 3a

−b, q = a

+ b,

G

перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q .

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(0; 2; 3) и b(1; 1; 3), а его проекция на вектор

cG(2; 2; 1) равна 5.

M (−2; −1; −2), L(4; 0; −4),

10. В

тетраэдре TMLF T(1; −1; 0),

вершина

F(−2; y; 0), высота тетраэдра,

опущенная из вершины F,

равна

36

. Найдите координаты вершины F и объем тетраэдра.

337

11.

Уравнения основания и боковой стороны равнобедренного

треугольника ABC соответственно

2x − y −5 =0 и

4x +3y −5 = 0.

Точка

D(3; 3)

лежит на

боковой

стороне.

Запишите

уравнение

третьей стороны.

12.

Составьте

уравнение

прямой, проходящей

через две

x + 2

y −1

z

x = t + 2,

скрещивающие

прямые

l1

:

=

=

и

l2 :

y = −t −4,

−3

0

3

z = −2t +1

x −3

y + 4

z −5

параллельно прямой l3 :

=

=

.

1

2

3

13.

В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1: A(2; 2; −1),

B(2; 3; 1),

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

x = −3 −2 y2 + 4y +3 , изобразите ее

на координатной

плоскости,

точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 2 : 3, а точка F делит

отрезок CD

в отношении

3: 2 .

Пусть

JJG G

JJJG

G

AB = a ,

AD = b . Найдите

JJJG

JJG

векторы GB

иGGEG

.

G

G

G

G

G

8. Пусть p = a

+ 2b ,

q = 2a

−b,

a

=3,

b

=1 и

p

=

19 . Найдите

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам

aG(2; −2; 1)

и b(0; 1; 2), образует с вектором

cG(−5; 4; 3)

острый угол, а модуль вектора x равен

45 .

10. В тетраэдре

ABCD

A(−2; 1; −2),

B(−4; 1; −3),

C(−2; 5; −8),

D(x; 4; 0), высота тетраэдра, опущенная из вершины D, равна

9

.

43

Найдите координаты вершины D и объем тетраэдра.

AB: BC = 2 :3.

11. В прямоугольнике ABCD отношение сторон

Уравнение

прямой

AB x +2y −4 = 0,

точка

Q(1; −6)

–

точка

пересечения диагоналей. Найдите уравнения прямых AC и BD.

12. Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

две

x −4

y +1

z −2

x = 0,

скрещивающие

прямые

l1

:

=

=

и

l2 : y = 2t −5,

−1

1

3

z = 4t

x −2

y +1

z −4

параллельно прямой l

:

=

=

.

3

−2

3

1

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1: A(1; 4; 2), B(2; 0; −1),

3

2

1

−12

0

6

0

−2 2

X

=

30

−24

.

1

1

1

−6

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 +2x2 −3x3 + x4 =1,

−x2 + x3 +2x4 = 2,

2x1

+3x2 −5x3 +2x4

= 4,

4x1

+4x2 −7x3 +5x4

= 7.

7x1

G

6. Проверьте, чтоGвекторы образуют базис: a (−5; 3; 0), b(0; 1; 1),

c(−1; 0; −2). Вектор d составляет с осью OX угол 1350, с осью OY

острый угол, с осью OZ

угол 1200;

d

=12. Какой угол вектор d

G G G

образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c .

46

точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 3:1, а точка F делит

отрезок CD

в отношении

1:3.

Пусть

JJG

G

JJJG

G

Найдите

AB = a ,

AD = b .

JJJG

JJG

G

G

G

G

G

векторы AG иGFG . G

8. Пусть

p = −a

−3b ,

q = 2a −b,

a

= 2 ,

b

= 4,

(a; b)= 600 .

G

Найдите проекцию вектора

на вектор p .

2p +3q

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(1; 0; 3) и b(2; 1; 3), а его проекция на вектор

cG

(6; 3; 2) равна −1.

10. В тетраэдре EFDC E(0; −2; −4), F(4; −2; −1), D(3; −4; −4),

C(−1; 0; z), высота тетраэдра, опущенная из вершины C, равна

36

.

181

соответственно

2x + y −8 =0

и

6x −7y −15 = 0.

Найдите уравнения

сторон AB и AC, если B(7; 4).

12. Составьте

уравнение

прямой, проходящей через две

скрещивающие прямые l :

x + 2

=

y −5

=

z

и l

:

x +1

=

y +3

=

z −1

2

1

1

1

−1

2

0

−1

параллельно прямой l3 :

x −3

=

y +1

=

z −4

.

4

1

−3

A(3; 1; 1),

B(2;−1;1),

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

x = 3 −

3

y2 −2y +5 , изобразите ее на координатной плоскости,

2

4. Решите матричное уравнение

−7

7 7

0 1

49

X

=

63

14

.

−1 −2

−1 2

x1 + x2 − x3 −4x4 = −3,

2x1 −x2 + x3 −2x4 = 0,

−x1 +3x2

+ x3 + x4 = 4,

+ x3 −5x4 =1.

2x1 +3x2

aG(−3; 0; −1),

6. Проверьте, что

векторы

образуют базис:

bG(2; 9; 0), cG(0; 4; −3). Вектор d составляет с осью OX угол

π, с осью

π

6

OY угол

=10. Какой угол вектор d

, с осью OZ тупой угол;

d

4

G G

G

образует с осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c .

отрезок

AB

в

отношении 3: 2 ,

а

G

точка E

делит

отрезок

BC

в

JJJG

G

JJG

JJJG

JG

отношении 1:1. Пусть AB = a , BC = b . Найдите векторы AF и FC.

G

G

G

G

G

a

= 2 ,

b

= 3,

G G

8. Пусть

p

= −a

+3b ,

q = 2a −b,

(a; b)=1200 .

Найдите

длину диагоналей

параллелограмма, построенного

на

G

G

векторах p и q .

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(3; 0; 2)

и

b(2; 1; −1),

образует с вектором

cG(1; −1; 1)

тупой угол, а модуль вектора x равен

62 .

P(−2; 8; 1),

10. В

тетраэдре

OMPN

O(−4; 8; 0),

M(0; 9; 0),

N(x; 5; 0), высота тетраэдра,

опущенная из вершины N,

равна

9

.

Найдите координаты вершины N и объем тетраэдра.

6

11. В

треугольнике

ABC

уравнение

биссектрисы

угла

A

2x + y −13 = 0, уравнение высоты

из

точки

C 4x −3y +24 = 0

и

B(1; 1). Найдите уравнение стороны AC.

12. Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

две

x −4

y +1

z −3

x = −2,

скрещивающие

прямые

и l2

= 3t

+1,

l1

:

=

=

: y

2

1

3

= −t

−4

x −2

y +1

z −4

z

параллельно прямой l

:

=

=

.

3

−4

1

−5

A(3; 2; 1),

B(4; 3; 2),

13. В

параллелепипеде ABCDA1B1C1D1:

C(1; 0; 1),

A1 (6; 4; 2). Найдите расстояние между прямыми AB1

и