Глава 1 простые проценты

1.1. Определение ставок и вычисление процентов Основные положения

• Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность: одна и та же сумма денег неравноценна в разные периоды. Учет временного фактора в финансовых операциях осуществляется путем начисления процентов или дисконтирования.

•Для сопоставления в пространственно-временном аспекте результатов финансовой операции используют показатель, называемый ставкой и определяемый отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к некоторому базовому капиталу. Это отношение выражается в десятичных дробях или в процентах.

• Процентная ставка определяется отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к величине исходного капитала.

• Учетная ставка определяется отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к ожидаемой к получению (возвращаемой) сумме денежных средств.

• Эффективность любой финансовой операции может быть охарактеризована ставкой.

• Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке вклада) является индекс роста суммы за данный период, показывающий, во сколько раз выросла величина капитала по отношению к величине капитала в конце предыдущего периода.

• Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина называется наращенной суммой, а ставка - ставкой наращения.

« Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а ставка - ставкой дисконтирования.

• В качестве ставки наращения или дисконтирования может выступать как процентная, так и учетная ставка.

• Число, равное сумме начального числа и начисленных на него процентов, называется наращенным числом. Проценты по отношению к наращенному числу называются процентами "на 100", а проценты по отношению к начальному числу называются процентами "со 100". Проценты "на 100" находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и сумма двух слагаемых, одно из которых представляет собой проценты "со 100" другого; требуется найти одно из слагаемых.

• Число, равное разности между начальным числом и начисленными на него процентами, называется уменьшенным числом. Проценты по отношению к уменьшенному числу называются процентами "во 100". Проценты "во 100" находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и разность двух слагаемых, одно из которых (вычитаемое) представляет собой проценты "со 100" другого; требуется найти одно из слагаемых.

Типовые примеры и методы их решения

Пример 1Л.1. Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 40 тыс. руб. с условием возврата 50 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт-фактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы кредита?

Решение. Полагая в формуле (1) (см. приложение 1) t = 1,5 года, РV =40 тыс. руб., FV = 50 тыс. руб., получим величину процентной ставки за полтора года:

r_1,5= = 0,25, или, что равносильно, r_1,5 = 25% .

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор находим соответственно по формулам (2),(4):

d_l,5 = = 0,2 или d_1,5 = 20%;

v_1,5 = =0,8 или v_1,.5 = 80%

Заметим, что величины d_{l. 5}, v_1..5 можно было найти, используя и другие соотношения. Например,

d_{l, 5}= _{= =0,2}

v_1.,5=1-d_1,5=1-0,2=0,8

Индекс роста В^ ^ суммы кредита показывает, во сколько раз возвращаемая сумма больше выданной:

B_1,5= =1,25.

Пример 1.1.2. Известно, что капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1,4 раза, а за второй год вся сумма увеличилась в 1,2 раза. Определите индекс роста вклада и процентную ставку за два года. На сколько процентов увеличился капитал за все время?

Решение. Индекс роста капитала В^ за два года находим перемножением индексов роста за каждый год:

B₂=1,4 ^. 1,2=1,68.

Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показывающая, на сколько процентов увеличится капитал, составит:

r₂ = B₂ – 1= 1,68 – 1=0,68.

Таким образом, капитал за два года увеличится на 68%.

Пример 1.1.3. Имеется два варианта вложения капитала на 3 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий год - еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

Решение. Поскольку для первого варианта индексы роста капитала за каждый год равны 1,15; 1,35 и 1,1, то индекс роста за 3 года составит:

1,15 ^. 1,35 ^. 1,1 =1,70775 1,708 .

Подобным образом находим индекс роста капитала за 3 года для второго варианта:

1,2 ^. 1,2 ^. 1,2 =1,728.

Так как согласно первому варианту за 3 года капитал увеличится на 70,8%, а согласно второму варианту - на 72,8%, то второй вариант вложения капитала лучше.

Заметим, что 70,8% и 72,8% представляют собой процентные ставки за 3 года.

Пример 1.1.4. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

Решение. Воспользуемся формулой (1). Обозначим через Р стоимость покупок. Поскольку 45% стоимости покупок оплачивается сразу, то на один год кредит предоставляется в размере PV = 0,55P. Величина дохода за предоставленный кредит составит FV-PV = 0,1P . Поэтому

r₁= =0,1818, или =18,18%.

Пример 1.1.5. Найдите с 90 тыс. руб.: а) 15% "со 100"; б) 15% "на100"; в) 15% "во 100".

Решение. Выражая 15% в десятичных дробях (т.е. получая 0,15), пользуемся последовательно формулами (6), (7), (8) при r=0,15 u Q=S=K=90 тыс. руб.:

a) = 900,15 =13,5 тыс. руб.;

6) = = 11,739 тыс. руб.;

в) = =15,882 тыс. руб.

Получили, что по отношению к одному числу проценты "на 100" меньше процентов "со 100", которые в свою очередь меньше процентов "во 100".

Для проверки найденных процентов "на 100" надо из данного числа (90 тыс. руб.) вычесть полученные проценты "на 100" (11,739 тыс. руб.), определив тем самым так называемое начальное число. Затем от начального числа найти проценты "со 100 ", которые должны совпадать с найденными согласно условию задачи процентами "на 100". Выполним эти действия:

90 – 11,739 = 78,261 тыс. руб.;

78,261^. 0,15= 11,739 тыс. руб.

Для проверки найденных процентов "во 100" надо к данному числу (90 тыс. руб.) прибавить полученные проценты "во 100" (15,882 тыс. руб.) и затем от найденной суммы (т.е. начального числа 105,882 тыс. руб.) найти проценты "со 100 ":

90 + 15,882 = 105,882 тыс. руб.;

105,882 ^. 0,5 = 15,882 тыс. руб.

Пример 1.1.6. Предприниматель реализовал партию товара за 80 тыс. руб., получив при этом 25% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

Решение. Поскольку 80 тыс. руб. представляют собой сумму себестоимости товара и процентов "со 700" этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли определяется по формуле (7) вычисления процентов "на 100". Полагая S=80 тыс. руб., r = 0,25, находим:

= =16 тыс. руб.

Следовательно, себестоимость товара составляет 80 - 16 = 64 тыс.руб.

Пример 1.1.7. Предприниматель реализовал партию товара за 57 тыс. руб., получив при этом 5% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.

Решение. Поскольку 57 тыс. руб. представляют собой разность себестоимости товара и процентов "со /00" этой себестоимости (убытка), то величина убытка определяется по формуле (8) вычисления процентов "во /00" при К = 57 тыс. руб. и r = 0,05:

= = 3 тыс. руб. 1-0,05 -

Следовательно, себестоимость товара составляет 57 + 3 = 60 тыс. руб.

Из разобранных двух последних примеров видно, что при применении формул вычисления процентов "на 100" или "во 100" (формулы (7) и (8)) вначале нужно определить, с каким капиталом (согласно условию задачи) имеем дело - с наращенным или уменьшенным, после чего решение задачи не представляет трудностей.

Задачи

1.1.1. Предприятие получило кредит на один год в размере 100 тыс. руб. с условием возврата 160 тыс. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставки.

1.1.2. Предприятие за взятый кредит через год должно вернуть 400 тыс. руб. Определите величину кредита, если учетная ставка равна 25%. Чему равен дисконт-фактор?

1.1.3. Кредит в размере 40 тыс. руб. выдан на два года с условием возврата 45 тыс. руб. Определите двухгодовые процентную и учетную ставки и дисконт-фактор.

1.1.4. Вклад 5 тыс. руб. положен в банк на 3 месяца с условием, что доход от финансовой сделки составит 800 руб. Определите квартальные процентную и учетную ставки и дисконт-фактор. Чему равен индекс роста вклада за квартал?

1.1.5. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 35% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 20% от стоимости покупок в качестве платы за кредит,

1.1.6. Доходы от трех финансовых операции, проведенных в течение одного и того же срока, составили соответственно 10, 8 и 20 тыс. руб. Сравните между собой нормы прибыли этих операций, если в них было вложено 50, 20 и 100 тыс. руб. Чему будут равны учетная ставка и дисконт-фактор в каждой финансовой операции?

1.1.7. Предполагается инвестировать три проекта в размере соответственно 40, 20 и 80 тыс. руб. Ожидается, что в зависимости от ситуации доходности этих инвестиций за два года могут колебаться в следующих границах: для первой - от 15 до 30%, для второй - от 35 до 50%, для третьей - от 10 до 15%. Определите, какой минимальный и какой максимальный доход можно получить за два года.

1.1.8. В результате инвестирования первоначальный капитал за первый год вырос в 1,4 раза, за второй год общий капитал вырос в 1,6 раза и за третий год вся сумма увеличилась в 1,3 раза. Чему равен индекс роста суммы? Определите, на сколько процентов увеличилась первоначальная сумма за 3 года.

1.1.9. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 50%, а за второй год вся сумма увеличится на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 30% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

1.1.10. Клиент банка получил от помещения денег на депозит на год 900 руб. Какая сумма была помещена на депозит, если индекс роста ее за это время составил 1,4?

1.1.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,15; 1,1; 1,12 и 1,05. На сколько процентов за это время увеличился вклад? Определите учетную ставку и дисконт-фактор: а) за полгода; б) за год.

1.1.12. Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а продана за 325 тыс. руб. Сколько процентов прибыли получил предприниматель?

1.1.13. Товарооборот магазина в июне составил 940 тыс. руб., ад июле - 890 тыс. руб. На сколько процентов уменьшился товарооборот в июле?

1.1.14. За продажу дачного участка комиссионер получил 8 тыс. руб., что составило 5% с продажной цены. Определите, за какую сумму был продан дачный участок.

1.1.15. Предприниматель, купив первую и вторую партии товара соответственно за 36 тыс. руб. и 42 тыс. руб., продал их соответственно за 48 тыс. руб. и за 58 тыс. руб. При продаже какой партии был получен больший процент прибыли?

1.1.16. Найдите: а) 3% "на 100" с 412 руб.; б) 5% "на 100" с 735 руб.; в) 10% "на 100" с 2300 руб.; г) 25% "на 100" с 42 тыс. руб.; д) 50% "на 100" с 9 тыс. руб.

1.1.17. Найдите: а) 3% "во 100" с 1261 руб.; б) 5% "во 100" с 760 руб.; в) 10% "во 700" с 1150 руб.; г) 25% "во 100" с 23 тыс. руб.; д) 50% "во 100" с 8 тыс. руб.

1.1.18. Найдите с 1500 руб. и 12 тыс. руб.: а) 25% "со 100";

б) 25% "на 100"; в) 25% "во 700".

1.1.19. Предприятие реализовало партию товара за 230 тыс. руб., получив при этом 30% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

1.1.20. Предприятие реализовало партию товара за 45 тыс. руб., получив при этом 8% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.

1.1.21. Из-за порчи было списано 10% товара. Определите, сколько товара было списано, если его осталось 963 кг.

1.1.22. Общий заработок рабочего, включая премию в размере 10% от месячного оклада, составил 1980 руб. Найдите величину премии и величину оклада.

1.1.23. Предприниматель за 1 кг некоторого товара хочет получить 12 руб. 60 коп. Какую цену ему следует назначить, чтобы, сделав 3%-ную скидку, получить 12 руб. 60 коп. за 1 кг?