dilman_tipovoy_raschet

1.

Докажите, что lim

4n −3

= 2 (укажите N(ε)).

2n +1

n→∞

Найдите пределы числовых последовательностей.

)

2.

lim

n4 +2 +

n −2

.

3. lim

n(n + 2) − n2 −2n +3

.

n→∞

n2 +2 + n4 −2

n→∞(

4.

lim

n2 +2

2n−3 .

2

n→∞

n

+2n +3

5.

Докажите (найдите δ(ε)), что lim

3x2

−5x −2

= 7.

x −2

x→2

1+ x

4

,

x <1,

6.

f (x) =

.

7. f (x) = x2

−2x +1

1

1

+e

+1,

x >1.

x

2x

8.

f (x) =

sin2 x

.

1

−cos2

x

9.

lim

x2 −2x +1

.

10.

lim

1−2x + x2 −1

.

2x2 − x −1

x

x→1

x→0

x (e

)

1+sin πx −1

x

−e

−x

11.

lim

.

12.

lim

.

2

+1 −e

x→1

tgπx

x→0 ex

sin ( x2 +1)arctg

x

x

2

13.

lim

+1

.

1

x→∞

2 −cos

x

(e4x − 1+ 2x )

14. lim

arcsin (ln(1−2x))

.

x→0

arccos3x ln 1+ 2tg

2

(0,5x)

)

(

1. Докажите, что lim

1

−2n2

= −

1

(укажите N(ε)).

2

+ 4n2

2

n→∞

2.

lim

(3 −n)3

.

3.

lim

(n + 4)!−(n + 2)!

.

n (n +3)!

(n +1)2 −(n +1)3

n→∞

n→∞

6n

2

−7

3n+2

4.

lim

.

2

+ 4n

n→∞

6n

5.

Докажите (найдите δ(ε)), что lim

3x2 −2x −1

= −4.

1

x→−

1

x +

3

3

2x −3

,

x > 0,

x

2x −3

6.

f (x) =

7.

f (x) =

.

3

x +1

,

x < 0.

−1

x

1

8.

f (x) =

.

1

9.

lim

x3

−3x −2

.

10.

lim

3 8 +3x + x

2 −2

.

x2

− x −2

x + x2

x→−1

x→0

11.

lim

cos5x −cos3x

.

12.

lim

1−2cos x

.

x→π

sin

2

x

π

sin (π−3x)

x→3

13.

lim

x2 −

3x5

−7

.

(

x2

)

x→∞

−x cos x +1 x

14.

lim (5 1+arcsin2 (ln(1+5x))−1) (arctg3x +3).

x→0

(e

tg2x

−cos3x)

sin (3tgx)

62

1.

Докажите, что lim

−5n

= −5 (укажите N(ε)).

n→∞ n +1

Найдите пределы числовых последовательностей.

2.

lim

5n +2 − 3 8n3 +5

.

3.

lim

(3n −1)!+(3n +1)!

.

4

n +7 −n

(3n)! (n −

1)

n→∞

n→∞

2

+ 4n −1

2n+5

4.

lim

3n

.

2

+ 2n +7

n→∞

3n

5.

Докажите (найдите δ(ε)), что lim

7x2 +8x +1

= −6.

x +1

x→−1

2

, x > 0,

tgx

π

π

6.

f (x) =

(x −

1)

3

7.

f (x) =

,

−

≤ x ≤

.

x

4

4

x

,

x < 0.

3

8.

f (x) =

x −1

.

1

3 +3

x

Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя.

9.

lim

x3

+5x2

+7x +3

.

10.

lim

27 + x − 27 −x

.

+ 4x2

+5x +

2

x +23 x4

x→−1 x3

x→0

sin 7x −sin3x

1− x2

11.

lim

.

12.

lim

.

ex

2

−e4π

2

sin πx

x→2π

x→1

13.

lim

3sin x +

x

2 −1

.

x +

x +

1

x→∞

−cos2x)

ln (1+ x2 + 2sin x) (e3x2

14.

lim

.

(4 1+ xtgx ln (1+ 4x)−1)

(2 + tg3x)

x→0

В а р и а н т

13

1.

Докажите, что lim

1−2n2

= −2 (укажите N(ε)).

n2

+3

n→∞

Найдите пределы числовых последовательностей.

)

2.

lim

(n +3)3 +(n +4)3

.

3.

lim

(

3 (n + 2)2

− 3

(n −3)2

.

(n +3)4 −

(n +4)4

n→∞

n→∞

n −1

n2 +6

4.

lim

7n

.

n→∞

n +1

5.

Докажите (найдите δ(ε)), что lim

6x2 −5x +1

= −1.

x − 1

x→3

1

3

6.

f (x) =

1

.

7.

f (x) =

x3

+1

.

1

x +1

2 +(

0,5)

x

1

,

x

< 3,

8.

−x

f (x) = 2

2

−1,

x

≥ 3.

x

9.

lim

x3 + 4x2 +5x + 2

.

10.

lim

3 4x −2

.

x3 −

3x −2

2 + x −

2x

x→−1

x→2

1+cos

π

−1

11.

2 x

1−cos2x − tg2 x

lim

.

12.

lim

.

sin πx

x2 sin (3x

+0,25π)

x→1

x→0

13.

lim

1+cosπx

.

x

x→−2

4 +(x

+2)sin

x +2

(ex2

−cos2x)

14.

lim

ln (1+ 2x3 +3sin x)

.

(

)

(2 +arctgx)

x→0

4

1+ xtg2x ln(1−3x)

−1

1. Докажите, что lim

3n

2

= −3 (укажите N(ε)).

2 −n2

n→∞

2.

lim

3 n −9n2

.

3.

lim

(2n +1)!+ n!

.

(2n −

1)! (n2 +1)

n→∞ 3n − 4 9n8 +1

n→∞

2

+3n −1

−4n3 −10

n+5

4.

lim

5n

.

2

+3n +3

n→∞

5n

5.

Докажите (найдите δ(ε)), что lim

10x2

+9x −7

= −19.

7

x→−

7

x +

5

5

x +2

4

,

x < 2,