dilman_tipovoy_raschet
.pdf7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а
точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE |
||||||||||||
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 3: 2 , а точка F делит |
||||||||||||
|
|
|
|
|
JJG G |
|
|
|
JJG |
G |
JJG |
|
отрезок CD в отношении 1:1. Пусть AB = a |
, AD = b |
. Найдите GD. |
||||||||||
G G |
G |
G |
G |
a |
|
=3, |
|
b |
|
= 2 |
и |
векторы p и q |
8. Пусть p = a |
−2b, |
q = a |
−b, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q . |
9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
|||||||
ортогонален векторам aG |
(2; 1; 0) и b(1; 2; −1), образует с вектором |
||||||
cG(1; 2; 1) |
острый угол, а модуль вектора x равен |
126 . |
|
||||
10. В |
тетраэдре |
QMNP M (0; 0; 0), |
N(4; 2; −1), P(3; −2; 1), |
||||
вершина Q лежит на оси OZ, высота тетраэдра, опущенная из |
|||||||
вершины Q, равна |
|
36 |
. Найдите координаты вершины Q и объем |
||||
|
245 |
||||||
тетраэдра. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
11. В |
прямоугольнике ABCD отношение сторон AB: BC = 2 :1. |
||||||
Уравнение прямой |
AB |
3x −2y +8 = 0 , |
точка |
Q(3; 2) |
– точка |
пересечения диагоналей. Найдите уравнения прямых AC и BD.
12. Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой
x = −7t −5, |
|
l : y = 2, |
относительно плоскости −x +3y −z +30 = 0. |
z = −4t −3 |
|
13. В |
параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(3; 1; 2), B(1; 1; 1), |
C(2; 1; −1), A1 (2; 3; 2). Найдите расстояние между прямыми BD и
AB1.
14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(−4; 0) и данной прямой x = −9 равно 13 .
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
|||
x = −2 + |
2 |
y2 −10y +16 , изобразите ее на координатной плоскости, |
|||||
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
31
|
|
|
В а р и а н т |
15 |
|
|||||||
|
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
−6 |
9 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C =((A2 )T B +B)T ; |
|
|
−5 0 −2 |
−2 −3 0 1 |
|||||||
|
A = −1 1 0 ; B = 1 −1 0 −2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 1 −1 |
−5 3 −3 1 |
||||||
|
3. Решите систему методом Крамера: |
|
||||||||||
|
|
|
−2x + y +8z =198, |
|
||||||||
|
|
|
5x +3y + 2z = 297, |
|
||||||||
|
|
|
6x + y + z = 99. |
|
||||||||
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
||||||
|
|
−7 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
X 1 2 −5 = (−24 0 −48). |
||||||||||
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =1, |
|
|||||||||
|
|
x1 − x2 + x3 + x4 −2x5 = 0, |
|
|||||||||
|
|
3x1 +3x2 −3x3 −3x4 + 4x5 |
= 2, |
|||||||||
|
|
4x1 +5x2 −5x3 −5x4 +7x5 |
= 3. |
|||||||||
G |
6. |
Проверьте, что векторы образуют базис: a (5; −3; 1), bG(0; 2; 1), |
||||||||||
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c(1; 0; 4). Вектор d составляет |
с |
осью OX острый угол, сG осью OY |
||||||||||
угол 1350, с осью OZ угол 1200; |
|
d |
=8. Какой угол вектор d образует |
|||||||||
с осью OX? Разложите вектор d |
|
|
|
|
|
G |
G |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
по базису a, b, c . |
32
7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит
отрезок AB в |
отношении |
2 : 3, а точка |
|
E делит |
отрезок BC в |
|||||||||||||||
отношении 1: 2 . Пусть |
JJJG |
G |
JJG |
|
G |
|
|
|
|
|
JJJG |
JG |
||||||||
AB = a |
, BC |
= b . Найдите векторы AF и FC. |
||||||||||||||||||
|
G |
G |
G |
G |
G |
G |
|
a |
|
= 2 , |
|
b |
|
=1 и |
G |
= |
13 . Найдите |
|||
8. Пусть p |
= 2a + b |
, q = a +3b , |
|
|
|
|
p |
|||||||||||||
модуль вектора q . |
|
|
|
|
вектора x (x; 3x; 1), |
|
|
|
||||||||||||
9. Найдите |
координаты |
если |
проекция |
|||||||||||||||||
вектора xG |
×aG(−1; 1; 1) |
на вектор b(−2; 1; 2) равна 2. |
|
|
|
|||||||||||||||
10. В |
тетраэдре |
KLFE |
|
K (0; 0; −4), |
|
L(0; 3; −9), |
F(1; 3; −6), |
|||||||||||||
вершина E лежит на оси OX, высота тетраэдра, опущенная из |
||||||||||||||||||||
вершины E, равна |
|
30 |
. Найдите координаты вершины E и объем |
|||||||||||||||||
|
115 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тетраэдра.
11. В ∆ABC известны: вершина B(1; 1), сторона AC : x +3y +6 = 0, высота CH : 2x − y −3 = 0 . Найдите уравнение средней линии ∆ABC ,
параллельной стороне AB.
12. Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой
x = 2t + 4,
l : y = t −1, относительно плоскости −4x +2y +z −5 = 0.
z = −t + 2
13. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(−1; 1; 2), B(−2; 2; 1), C(1; 3; 2), A1 (1;4;3). Найдите расстояние между прямыми AC и A1B.
14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(4; 0) и данной прямой x =16 равно 12 .
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением y = 2 − 6(x −1), изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.
33
|
|
|
В а р и а н т |
16 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
0 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Найдите матрицу C: |
|
6 −4 0 1 |
−2 4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
C = (BBT +3A)T ; A |
= 0 1 −2 2 ; |
B = 0 −4 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 1 1 −1 |
|
2 −1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 2 4 −3 |
|
−5 0 |
|
|
|||||||||||||||
3. Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
6x +2y +5z = 2, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3x +5y −2z =1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4x +7y −3z =1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−8 0 2 |
|
|
−16 8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 −1 −1 X = 24 |
0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 4 2 |
|
|
−32 −24 |
|
|
|
||||||||||||||||
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x1 + x2 −6x3 −4x4 = 6, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
− x2 |
−6x3 −4x4 = 2, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3x1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2x1 +3x2 +9x3 + 2x4 |
= 6, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3x |
+ 2x |
2 |
+3x |
3 |
+ |
8x |
4 |
= −7, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aG(1; −1; 2), |
|||||||
6. |
Проверьте, что |
векторы |
|
образуют |
базис: |
||||||||||||||||||
bG(0; −3; −4), cG(5; 0; −6). Вектор d составляет с осью OX угол |
2π |
, с |
|||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
осью OY тупой угол, с осью OZ угол |
|
|
d |
|
=10. Какой угол вектор d |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
G G |
G |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а
точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE |
||||||||||||||
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 2 :1, а точка F делит |
||||||||||||||
отрезок CD в отношении |
|
JJG |
|
|
G |
JJG |
|
|
G |
JJG |
||||
1:3. Пусть AB = a , |
AD = b . Найдите GC. |
|||||||||||||
8. Пусть |
G G |
G |
G |
G |
|
a |
|
=3 |
, |
|
b |
|
=1, |
G G |
p = a |
+ 2b , |
q = −a |
+b , |
|
|
|
|
(a; b)= 600 . |
Найдите косинус угла между векторами p и q .
|
|
|
9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
|||||||||||||||||||||||||
ортогонален векторам aG(2; 1; 0) и b(1; 3; −1), а его проекция на вектор |
||||||||||||||||||||||||||||
cG(3; 6; −2) |
равна −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. |
В |
|
тетраэдре TLQR T(−2; −3; 0), |
L(−5; −2; 0), |
Q(−2; −5; 5), |
|||||||||||||||||||||||
вершина R(x; 1; 0), |
высота |
тетраэдра, |
опущенная из |
вершины |
R, |
|||||||||||||||||||||||
равна |
90 |
|
. Найдите координаты вершины R и объем тетраэдра. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
286 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
Высота и медиана, проходящие через разные вершины |
|||||||||||||||||||||||||||
треугольника ABC, лежат на прямых, заданных уравнениями |
||||||||||||||||||||||||||||
соответственно |
x −2y −7 = 0 и |
7x +6y −99 = 0. Найдите уравнения |
||||||||||||||||||||||||||
сторон AB и AC, если B(0; 9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12. |
Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой |
|||||||||||||||||||||||||||
l : |
x −2 |
= |
|
y +1 |
= |
z −3 |
|
относительно плоскости 3x −2y +z +31 = 0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
ABCDA1B1C1D1: |
A(1; 1; 3), |
|
B(2; 1; 4), |
|||||||||
13. |
В |
|
|
|
параллелепипеде |
|
||||||||||||||||||||||
C(−1; 3; 1), |
|
A1 (2; 5; 3). Найдите расстояние между прямыми BD и |
||||||||||||||||||||||||||
B1C. |
Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек |
|||||||||||||||||||||||||||
14. |
||||||||||||||||||||||||||||
которой до данной точки A(−3; 0) |
и данной прямой x = − |
|
25 |
равно |
||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. Полученное |
уравнение |
приведите |
к |
простейшему |
|
виду |
и |
||||||||||||||||||||
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
постройте кривую. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
15. |
Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
|
уравнением |
||||||||||||||||||||||
|
y = −3 − |
|
3 |
|
8x − x2 , |
изобразите |
ее |
на |
координатной |
плоскости, |
||||||||||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
35
|
|
|
|
В а р и а н т |
17 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
1 −3 −1 |
|
|
|
|
7 −7 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
C = (4A −3BT )2 ; |
A = 2 0 −2 |
; B = 0 1 2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 5 6 |
|
|
|
|
5 0 −8 |
|||||||
|
3. Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2x + y +3z = 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
7x +5y +9z =3, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3x +3y + 4z =10. |
|
|
|
|||||||||||
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
−5 |
0 |
|
|
7 |
|
0 |
|
|
−14 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
X |
0 5 |
|
|
−4 |
|
= |
21 |
−7 |
0 |
. |
|
|||||
|
|
|
−7 |
1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x1 + 2x2 −3x3 + 4x4 = 4, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2x1 −3x2 + x3 −2x4 = −2, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x1 + 2x2 +3x3 + x4 = 7, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2x1 −3x2 −5x3 + x4 = −5. |
|
aG(−1; 0; 2), |
|||||||||||||
|
6. |
Проверьте, что |
векторы |
образуют |
базис: |
|||||||||||||
bG |
(4; −5; 0), cG(−7; 1; −2). Вектор d составляет с осью OX угол 1200, с |
|||||||||||||||||
осью OY угол 450, с осью OZ острый угол; |
|
d |
|
= 2. Какой угол вектор |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d образует с осью OZ? Разложите вектор d |
по базису a, b, c . |
36
7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне |
|||||||||||||||
BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит |
|||||||||||||||
отрезок AB |
в |
отношении |
3:1, |
|
а |
точка E |
|
делит |
отрезок BC в |
||||||
|
|
|
JJJG |
G JJG |
|
G |
|
|
|
|
JJG |
||||
отношении 1: 2 . Пусть AB = a , AC = b . Найдите вектор BF. |
|||||||||||||||
8. Пусть |
G |
G |
G |
G |
|
G |
|
a |
|
= 4 , |
|
b |
|
=1, |
G G |
p = a |
−2b, q = −a −b, |
|
|
|
|
(a; b)=1200 . |
|||||||||
Найдите проекцию вектора |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
на вектор p . |
|
|
|
|
|
||||||||||
3p +q |
|
|
|
|
|
|
|
9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
|||||||||||||
ортогонален векторам aG |
(−1; 2; 3) |
и b(1; 2; −1), |
образует с вектором |
||||||||||||
cG(3; 4; 5) |
тупой угол, а модуль вектора x равен |
21. |
|
|
|
||||||||||
10. |
В |
тетраэдре |
PMQR |
M(0; 1; −2), Q(−5; 5; −2), |
R (1; −1; 6), |
||||||||||
вершина |
P(0; y; −1), высота тетраэдра, |
опущенная из вершины P, |
|||||||||||||
равна |
9 |
|
. Найдите координаты вершины P и объем тетраэдра. |
|
|||||||||||
42 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
В |
треугольнике |
ABC |
уравнение |
биссектрисы |
угла |
A |
||||||||
x + y −9 = 0 , уравнение высоты из точки C |
3x − y −5 = 0 и B(−4; 5). |
||||||||||||||
Найдите уравнение стороны AC. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой |
||||||||||||||
|
|
x = −2t −4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l : y = 5t +3, относительно плоскости 3x −5y +4z −257 = 0. |
|
||||||||||||||
|
|
z = t +1 |
|
|
|
|
|
A(2; −1; 3), |
B(3; 4; 1), |
||||||
13. |
В |
параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: |
|||||||||||||
C(1; 3; 2), A1 (3; 2; 2). Найдите расстояние между прямыми AB1 |
и |
||||||||||||||
A1C1. |
Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек |
||||||||||||||
14. |
|||||||||||||||
которой до данной точки A(0; 10) и до данной прямой y =6,4 равно |
|||||||||||||||
|
5 |
. Полученное уравнение упростите и постройте кривую. |
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
x = −2 +3 y2 + 2y + 2 , изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.
37
|
|
|
|
В а р и а н т |
18 |
|
|
|||||||||
|
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
3 |
5 |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
2 −1 0 |
5 1 −1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
C = ((3BT )2 −4ATB); A = 1 −1 2 ; |
B = 0 1 −2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 0 −3 |
3 −1 2 |
||||||||
|
3. |
Решите систему методом Крамера: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2x + y +3z =19, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3y +z =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4x +2y +5z = 31. |
|
|
||||||||||
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 −1 3 −3 −15 −45 |
|
||||||||||||
|
|
|
0 5 |
X |
|
= |
. |
|
||||||||
|
|
|
−6 5 |
30 |
0 |
|
||||||||||
|
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x1 + 2x2 −3x3 + 4x4 = 7, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2x1 + 4x2 +5x3 − x4 = 2, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
5x1 +10x2 +7x3 + 2x4 =11. |
aG(−1; 6; 0), |
||||||||||||
|
6. |
Проверьте, |
что |
векторы |
образуют |
базис: |
||||||||||
bG |
(−2; 4; 5), cG(1; 0; 3). Вектор d составляет с осью OX тупой угол, с |
|||||||||||||||
осью OY угол 1350, с осью OZ угол |
π; |
|
|
d |
|
= 2 |
. Какой угол вектор d |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
G G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образует с осью OX? Разложите вектор d по базису a, b, c .
38
7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а
точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE |
|||||||||||||||||
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 3:1, а точка F делит |
|||||||||||||||||
отрезок CD |
в |
отношении |
2 :1. |
|
|
JJG |
G |
JJJG |
G |
Найдите |
|||||||
Пусть AB = a , |
AD = b . |
||||||||||||||||
|
JJJG |
JJG |
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|||
векторы EG и GFG .G |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
Пусть |
p = a |
+ 2b , q |
= −a +b , |
a |
=3, |
b |
|
=1, |
(a; b)= 600 . |
|||||||
Найдите |
длину |
диагоналей параллелограмма, |
построенного на |
||||||||||||||
векторах |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p и q . |
|
|
|
|
x (3; − x; 2x), если |
|
|
|
|||||||||
9. |
Найдите |
координаты |
вектора |
проекция |
|||||||||||||
вектора xG |
×aG |
(−2; 1; −1) на вектор b(6; −3; 2) равна 1. |
|
|
|
|
|||||||||||
10. В тетраэдре SMOP S(2; 0; 3), M (2; 2; −1), O(7; 0; 6), вершина |
|||||||||||||||||
P(−1; 0; z), высота тетраэдра, опущенная из вершины P , равна |
24 |
. |
|||||||||||||||
134 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите координаты вершины P и объем тетраэдра.
11. В равнобедренной трапеции ABCD известны уравнение основания AD 9x −8y −25 = 0, уравнение диагонали AC x −2y −5 =0
и B(3; −4). Найдите координаты точки D.
12. Составьте |
уравнение |
|
|
прямой, |
|
|
проходящей |
через две |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
y |
|
|
z + 2 |
|
x = t −1, |
|
скрещивающие |
прямые |
l1 |
: |
|
= |
|
= |
|
и l2 : |
y = −3t + 2, |
|||||||
|
|
−2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
z = t |
||||||
|
|
|
x +5 |
|
|
|
y −2 |
|
|
z −3 |
|
|
|
||||
параллельно прямой l3 : |
= |
= |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
−2 |
A(1; 2; 2), |
B(2; 2; 3), |
||||||
13. В |
параллелепипеде |
|
ABCDA1B1C1D1: |
||||||||||||||
C(3; 1; 3), |
A1 (4; 4; 2). Найдите расстояние между прямыми BC1 и |
B1D1.
14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(0; 4) и до данной прямой y =1 равно 2.
Полученное уравнение упростите и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением
y =1+ |
3 |
4x − x2 +12 , изобразите ее на координатной плоскости, |
|
2 |
|||
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
39
|
|
В а р и а н т |
|
|
|
19 |
|
|
||||||||||||||
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−3 |
|
−1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−2 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
||
2. |
Найдите матрицу C: |
−1 1 −2 |
1 2 −2 −4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
C =(−(A2 )T B + B)T : A = 3 −3 1 ; B = 0 0 −1 6 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 4 0 |
6 7 8 −9 |
||||||||||||||||
3. |
Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x +3y +3z = −2, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
−3x −4y −5z = 3, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x +5y −z =1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
23 0 −23 |
|
|||||||||||||||||
|
7 8 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
−3 −2 0 X = −46 23 0 . |
|
||||||||||||||||||||
|
1 5 −1 |
|
|
|
0 46 2 |
|
||||||||||||||||
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3x1 −x2 + x3 = 6, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
−5x2 |
+ x3 =12, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
x1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
+4x2 = −6, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2x |
1 |
+ x |
2 |
+3x |
3 |
= 3, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5x |
1 |
+4x |
3 |
= |
9. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (1; 2; 3), bG(3; −1; 3), |
|||||||
6. Проверьте, что векторы образуют базис: |
||||||||||||||||||||||
G |
G |
составляет с осью OX угол |
π, с осью OY |
|||||||||||||||||||
c(0; 5; |
−2). Вектор d |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
острый угол, с осью |
OZ угол |
; |
|
d |
|
= 4. Какой |
угол вектор d |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G G |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
образует с осью OY? Разложите вектор d |
по базису a, b, c . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|