dilman_tipovoy_raschet
.pdf
В а р и а н т 13
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = 2x2 +3; x0 =1.
2. Вычислите приближенно значение функции y = x6 при
x= 2,01.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = x −4 x + 2 +8; −1 ≤ x ≤ 7 .
4.По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся две машины со скоростями 30 км/ч и 50 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x + 4x +cos2 (x + 2); x0 = −2. |
|
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
3x2 |
−7 |
и точки его |
|
2x |
+1 |
||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 23 (x −1)2 − x . |
8. y = |
x2 |
. |
9. y = e3 x2 . |
|
(x −1)2 |
|||||
|
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
91
В а р и а н т 14
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x2 |
+6 |
; x |
|
=1. |
x4 |
+1 |
0 |
|||
|
|
|
|
||
2. Вычислите приближенно |
значение функции y = 3 x при |
||||
x=8,04 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2(x −2)2 (5 − x); 1 ≤ x ≤5.
4.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 36 см3, причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x2 + 2ln x(x + 2); x0 = −1. |
|
|
|
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
64x3 |
−27 |
и |
|||
16x |
2 |
+13x −3 |
|||||
|
|
|
|||||
точки его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. |
y = |
1 |
+ x2 |
. |
8. |
y = |
2x3 |
|
. |
9. y = (x +1) |
2 |
e |
2x |
. |
|
|
x |
x2 |
− |
9 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
92
В а р и а н т 15
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = 2x + |
1 |
; x0 =1. |
|
x |
|||
|
|
||
2. Вычислите приближенно |
значение функции y = x7 при |
||
x=1,998.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = |
|
4x |
; −4 ≤ x ≤ 2. |
|
4 |
+ x2 |
|||
|
|
4.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 4x − x2 +(x −2)sin(x −2); x |
0 = 2. |
|
|
6. Найдите асимптоты графика функции y = |
|
8x3 +54 |
и точки |
|
x2 − x −20 |
||
|
|
|
|
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = (x −3) x . |
8. y = |
2 − x2 −2x |
. |
9. y = earctgx . |
|
||||
|
|
x +3 |
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
93
В а р и а н т 16
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
2(x3 |
+2) |
; x0 |
=1. |
|
3(x4 |
+1) |
||||
|
|
|
|||
2. Вычислите приближенно |
значение функции y = 3 x при |
||||
x= 7,94.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = − |
x2 |
+ |
8 |
+8; |
−4 ≤ x ≤ −1. |
|
2 |
x |
|||||
|
|
|
|
4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 288 см3, причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? Решить задачу в указанных единицах размерности физических величин.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 6ex − x3 −3x2 −6x −5; x0 = 0. |
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
25 −9x |
2 |
и точки его |
7x +9 |
|
|||
|
|
|
|
|
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = x 3 1− x . |
8. |
y = |
x2 |
−3x +2 |
. 9. |
y = 2x − |
3 |
ln(1 |
+ x2 ) . |
|
(x +1)2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
94
В а р и а н т 17
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x5 |
+1 |
; x |
|
=1. |
||
|
|
|
0 |
||||
x4 |
+1 |
||||||
|
|
|
|
||||
2. Вычислите приближенно значение функции y = 4x −1 при
x= 2,56.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2x2 (x −6); −2 ≤ x ≤ 4.
4.По углам прямоугольной картонки со сторонами 2 и 3 вырезаны 4 одинаковых квадратика, что позволило согнуть края картонки и образовать коробочку в форме прямоугольного параллелепипеда. Какова сторона вырезанных квадратиков, если объем коробочки оказался наибольшим из возможных?
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x2 −2x −2ex−2 ; x0 = 2 . |
|
|
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2x |
2 −1 |
и точки его |
||
x2 |
−2 |
|
||||
|
|
|
||||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график. 7. y =1− 3 (x −1)2 . 8. y = (x +2)2 (x +4)2 . 9. y = ln(1+ x2 ) . 10. По графику функции постройте график ее первой производной.
95
В а р и а н т 18
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x16 −9 |
; x |
|
=1. |
|
||
1−5x |
2 |
0 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|||
2. Вычислите приближенно y = |
|
|
|
|
при x =1,016 . |
||
|
|
2x2 + x +1 |
|||||
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = |
−2x(2x +3) |
; |
−2 ≤ x ≤1. |
||
|
x2 + 4x +5 |
|
|
||
4. Найдите на кривой y = |
3 |
, x > 0 |
точку, ближайшую к точке |
||
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
(−2; 2).
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = sin2 (x + 2) − x2 −4x −4; x0 = −2.
6. Найдите асимптоты графика функции y = x2 −4x −21 и точки
2x2 +9x + 4
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = (x −1)3 3 x2 . |
8. y = |
x3 +4 |
. |
9. y = x −ln(1+ x2 ) . |
|
||||
|
|
x2 |
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
96
В а р и а н т 19
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y =3(3 x −2 x); x0 =1.
2.Вычислите приближенно значение y = 3 x при x =8,06 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = −2 |
|
x2 |
+3 |
; |
−5 ≤ x ≤1. |
||
x2 |
+ |
|
2x +5 |
||||
|
|
|
|
||||
4. Найдите на кривой y = |
|
4 |
, x > 0 |
точку, ближайшую к точке |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
(−7; 2).
5.Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x2 −2x −(x −1)ln x; |
x0 =1. |
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
−12 |
и точки его |
|
4x −3 |
|||||
|
|
|
|||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 4x −33 (x −1)2 . 8. y = |
x4 |
|
|
1 |
|
|
. |
9. y = xex . |
|||||
(x +1)3 |
||||||
|
|
|
|
|
||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
97
В а р и а н т 20
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
1 |
|
; x |
0 = 2. |
|
|
|
|
3x +2 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
2. Вычислите приближенно |
значение функции |
y = |
при |
|||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
x= 4,06 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 3 2(x +2)2 (x −4); 0 ≤ x ≤ 4 .
4. Точки A и B с абсциссами 1 и −1 расположены на параболе y = x2 . Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний
которой до точек A и B была бы наименьшей.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = (x −1)sin(x −1) + 2x − x2 ; |
x0 =1. |
|
||||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2x2 |
−3 |
и точки его |
||
x2 |
−1 |
|
||||
|
|
|
||||
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = (x −1)3 3 (x +1)2 . |
8. y = |
x −1 |
. |
9. y = −xln2 x . |
|
||||
|
|
x2 −2x |
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
98
В а р и а н т 21
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x |
; x0 = −2. |
|
x2 +1 |
|||
|
значение функции y = x7 при |
||
2. Вычислите приближенно |
|||
x= 2,002 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = x2 −2x + |
16 |
|
|
−13; 2 ≤ x ≤ 5. |
|
x − |
1 |
||||
|
|
||||
4. Точки A и B с абсциссами 2 и −2 расположены на параболе y = 12 x2 . Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний
которой до точек A и B была бы наименьшей.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = x4 + 4x3 +12x2 + 24(x +1−ex ); x0 |
= 0. |
|
|||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
2x2 |
+7x −4 |
и точки |
|
5x −3 |
|||||
|
|
|
|||
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 55 (x −1)2 − 5 x . |
8. |
y = |
x3 |
|
. |
9. y = |
3ln x |
. |
|
x + |
1 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
99
В а р и а н т 22
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = |
x2 |
−3x +3 |
; x |
|
= 3. |
|
3 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
2. Вычислите приближенно значение функции y = 4x −3 при
x=1,78.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 2 x −1 − x + 2; 1 ≤ x ≤ 5.
4. Точки A и B с абсциссами 3 и −3 расположены на параболе y = 13 x2 . Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний
которой до точек A и B была бы наименьшей.
5. Исследуйте поведение данной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 6ex+1 −x3 −6x2 −15x −16; |
x0 |
= −1. |
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 + 2x −1 |
и точки |
||
2x +1 |
|
||||
|
|
|
|||
его пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 3 − 3 (x −1)2 . |
|
x |
2 |
−4 |
|
9. y = xe− |
x2 |
|
8. y = |
|
. |
3 |
. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
||
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
100