dilman_tipovoy_raschet
.pdfВ а р и а н т 18
1. |
Докажите, что lim |
5n +15 |
= −5 (укажите N(ε)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6 −n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите пределы числовых последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 64n6 |
+4 − |
n −4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
13 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
3. |
|
lim |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
... + |
|
|
|
+ |
|
. |
||
|
5 n5 +6 + |
n +6 |
|
|
6 |
36 |
2 |
n |
|
n |
|||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
2n−n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
lim |
|
n |
+1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Докажите (найдите δ(ε)), что |
lim |
2x2 |
−25x −13 |
= −27 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→− |
1 |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и сделайте схематический чертеж.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
x |
< 2, |
|||
6. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
7. |
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−2x +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2x, |
|
|
|
x |
|
2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
f (x) = |
1−cos2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
lim |
|
x3 +5x |
2 +8x + 4 |
. |
10. |
lim |
9 +2x −5 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+16x +12 |
|
x2 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→−2 x3 +7x2 |
|
|
|
|
x→8 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11. lim |
ln tgx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
lim |
|
2x −2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→π4 |
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 sin |
πx ln x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. lim |
|
4cos x +sin |
ln (1+ x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. lim |
|
|
(sin 2x −3)ln (1−arctg2 x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ex − |
1+5x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 sin (ln(1+4x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
В а р и а н т 19
1. Докажите, что lim |
3 −n2 |
= − |
1 |
(укажите N(ε)). |
|
1+ 2n2 |
2 |
||||
n→∞ |
|
|
Найдите пределы числовых последовательностей.
2. |
lim |
(2n +1)3 +(3n +2)3 |
|
. |
|
|
||||||
(2n +3)3 −(n −1)3 |
|
|
||||||||||
|
n→∞ |
|
) |
|
||||||||
3. |
lim |
|
n3 +8 |
( |
n3 + 2 − n3 −1 |
. |
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|||
|
|
|
2 |
+ 21n |
−7 |
|
|
|
||||
4. |
lim |
|
2n |
. |
|
|
|
|||||
2 |
+18n |
+9 |
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
2n |
|
|
|
|
5. Докажите (найдите δ(ε)), что lim |
2x2 |
−21x −11 |
= 23. |
|
|
x −11 |
|
||
x→11 |
|
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и сделайте схематический чертеж.
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
6. |
f (x) = |
|
|
|
|
. |
7. f (x) = 2ln x−1 . |
|||
1− |
|
x +1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
+1, |
x ≤1, |
|
|
|
||
8. |
f (x) = |
x |
|
|
|
|
||||
|
2 |
, |
x >1. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя.
9. |
lim |
x3 |
−3x −2 |
. |
|
|
(x2 |
−x −2)2 |
|
||||
|
x→−1 |
|
|
|||
11. |
lim |
|
|
eπ −ex |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
x→π sin5x −sin3x |
|
|
|
|
3 |
x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
lim |
|
4 |
|
2 |
. |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
x→12 |
+ x − |
2x |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12. |
lim |
sin (x + h)−sin (x −h) |
. |
|||||
|
||||||||
|
h→0 |
|
|
|
|
h |
13. |
lim |
2cos2 x + |
( |
ex −1 sin |
1 |
. |
|
|
||
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
) |
x |
|
|
|||
14. |
lim |
(exsin3x |
−cos5x) arcsin (3tgx) |
. |
||||||
(4 1+ln (1−3x) |
(cos2x −1)−1) |
(2sin x +cos x) |
||||||||
|
x→0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
20 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Докажите, что lim |
|
n −1 |
= − |
1 |
(укажите N(ε)). |
|
|
|
|
||||||||
|
2 −3n |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдите пределы числовых последовательностей. |
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
lim |
|
|
n +3 − 3 8n3 +3 |
. |
3. |
lim |
(2n +1)!+(2n + 2)! |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 n +4 − 5 n5 + |
5 |
(2n +3)!−(2n |
+ 2)! |
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
||||||||||
|
|
|
10n −3 |
5n2 −7n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
lim |
−2n+5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Докажите (найдите δ(ε)), что lim |
5x2 −24x −5 |
|
= 26 . |
|
|
||||||||||||
|
x −5 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и сделайте схематический чертеж.
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
, x > 3, |
|
x |
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
f (x) = |
|
(1− x) |
3 |
7. f (x) = |
, |
− |
≤ x ≤ |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
4 |
||||||||||||
|
|
tgx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 3. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
f (x) = |
|
1+ x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя.
|
|
|
x3 −3x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
− |
1 |
|
|
|
9. |
lim |
. |
|
|
10. |
lim |
9 |
|
3 |
. |
||||||||
|
|
|
1 + x − |
|
||||||||||||||
|
x→2 |
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
2x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
11. lim |
|
ln(9 −2x |
2 ) |
|
. |
|
|
12. |
lim |
|
x +2 − |
2 |
. |
|
||||
|
sin 2πx |
|
|
|
|
|
sin3x −sin x |
|
||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 +ln e + xsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
lim |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos x +sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. lim |
(3 1+ xsin2 x −1) |
|
(arccos x +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
ln (1−3arctgx) |
(e2x2 −cos3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
21 |
|
|||||
1. |
Докажите, что lim |
3n −1 |
= |
3 |
(укажите N(ε)). |
|
|||||||
|
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
5n +1 |
|
|
|
|||||
Найдите пределы числовых последовательностей. |
|
||||||||||||
2. |
lim |
(2n +1)3 −(2n +3)3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
(2n +1)2 +(2n +3)2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
limn→∞( |
(n2 +1)(n2 + 2) − (n2 −1)(n2 −2) ). |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
−5n +4 |
2n2 +6n+1 |
|
|
|
|
||||
4. |
lim |
|
3n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
2 |
−5n +7 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Докажите (найдите δ(ε)), что lim |
2x2 +15x +7 |
= −13. |
||||||||||
x +7 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−7 |
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер
точек разрыва и сделайте схематический чертеж. |
|
|
|||||
x +5 |
, x ≤1, |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
− |
3) . |
|||
|
|||||||
6. f (x) = 2x +4 |
|
f (x) = 3ln(x |
|||||
|
x >1. |
|
|
|
|
|
|
x −4, |
|
|
|
|
|
8.f (x) = 1−x2 .
x+1
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя.
|
|
|
x3 −3x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
− |
1 |
|
|
|||||||
9. |
lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
10. |
lim |
16 |
4 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→−1 x2 + 2x |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→14 |
1 |
+ x − 2x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
11. lim |
|
|
|
|
|
|
1−24−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x+h |
+ 2x−h −2 2x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
12. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ) |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|||||||||
|
x→2 |
2 |
|
2x |
− |
|
|
3x |
2 |
−5x |
|
|
h→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
lim ln |
(e |
|
−cos x )cos |
|
|
+ tg |
x + |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. lim |
|
|
(cos2x −2)ln (1+3sin2 (2x)) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 arcsin (ln(1−x)) (e4x − 3 1+6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
22 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Докажите, что lim |
4n −3 |
= 2 (укажите N(ε)). |
|
|
|
|||||||||
2n +1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите пределы числовых последовательностей. |
|
|
|||||||||||||
2. |
lim |
3 n2 |
− |
n2 +5 |
. |
|
3. |
lim |
|
(2n +1)!+ n! |
. |
||||
5 n7 − |
n +1 |
|
|
(2n)! (3n |
+ 2) |
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
||||||||
|
|
3 |
+3 |
(−n2 +n−1)(2n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
lim |
|
n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Докажите (найдите δ(ε)), что lim |
2x2 +6x −8 |
= −10. |
||||||||||||
|
x + 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−4 |
|
|
|
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и сделайте схематический чертеж.
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x−1 |
, |
x ≤1, |
|
6. |
f (x) = |
|
|
|
|
. |
7. f (x) = e 2 |
|
|||||
|
|
|
1 |
−4x +5, x >1. |
|||||||||
|
|
2 +2 |
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
x |
−1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
f (x) = |
x4 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя.
9. |
lim |
x2 −2x +1 |
|
. |
|
|
|
|
|
10. |
lim |
|
1+ x − 1−x |
. |
|||||
x3 − x2 − x +1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
x |
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|||||||
11. |
lim |
3 x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
12. |
lim |
1− cos x |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
1−cos |
x |
|
|||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||
|
|
cos x +ln(1+ x) 2 |
+cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
lim |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 +ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
( |
) |
sin (3arctg(2x)) |
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
lim |
etgx −cos3x |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(5 1+arcsin (ln(1−5x))−1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
arctg(1+3x) |
|
|
|
75
В а р и а н т 23
1. Докажите, что lim |
1 |
−2n2 |
= − |
1 |
(укажите N(ε)). |
|
2 |
+ 4n2 |
2 |
||||
n→∞ |
|
|
Найдите пределы числовых последовательностей.
2. |
lim |
|
|
|
(n + 2)4 |
−(n −2)4 |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
((n +5)2 +(n −5)2 )(n +5) |
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
9 |
|
|
|
1 |
|
|
n |
||
3. |
lim |
|
+ |
+ |
|
+ |
... + |
+ |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
n |
n |
||||||||||||
|
n→∞ |
|
4 16 64 |
|
|
4 |
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
+5 |
3n+2 |
|
|
|
|
|
||||
4. |
lim |
|
n |
−6n |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
+5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n→∞ |
n |
−5n |
|
|
|
|
|
|
|
5. Докажите (найдите δ(ε)), что lim |
6x2 −x −1 |
= − |
5 |
. |
||
3x +1 |
|
3 |
||||
x→−1 |
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и сделайте схематический чертеж.
|
|
|
|
x |
2 |
, |
|
|
|
x ≤ 2, |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
f (x) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
7. f (x) = |
|
|
|
|
. |
8. |
f (x) = |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
, x > 2. |
e |
2x |
−1 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 +3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9. |
lim |
|
x4 |
−1 |
|
|
. |
|
|
|
10. |
lim |
3 27 + x − |
3 27 −x |
|
. |
|
|
|
|||||||||
2x4 − x2 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 x2 + |
5 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
lim |
|
tgπx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
12. |
lim |
|
|
3 |
5 + x −2 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→−2 ln(x +3) |
|
|
|
|
|
|
|
x→3 sin(3πx) −sin πx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. lim |
|
|
|
|
|
|
|
cos2πx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→1 |
|
|
|
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 +(e |
|
|
|
|
−1) 1+sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
lim (3 1+ xsin 2x ln (1−x)−1) |
(tg3x −3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
ln (1+ x2 + 2sin x) |
(e3x2 −cos4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
24 |
|
|||||
1. |
Докажите, что lim |
5n +1 |
|
= |
1 |
(укажите N(ε)). |
|||||||||
10n −3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
2 |
|
|
|
|||||
Найдите пределы числовых последовательностей. |
|||||||||||||||
2. |
lim |
3 n2 +2 −5n2 |
. |
|
|
3. |
lim(n − n(n −1) ). |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
n→∞ n − n4 −n +1 |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|||||||
|
|
|
2 |
3n+5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
lim |
|
n |
|
+4n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
n |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Докажите (найдите δ(ε)), что lim |
x2 + 2x −15 |
= −8. |
||||||||||||
x +5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−5 |
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и сделайте схематический чертеж.
|
cos x, |
x ≤1, |
|
|
x |
3 |
− x |
2 |
|
|||
6. |
f (x) = |
|
|
|
7. |
f (x) = |
|
|
. |
|||
|
|
x >1. |
|
x −1 |
|
|||||||
|
x2 +1, |
|
|
|
|
|
||||||
8. |
f (x) = |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +3x−1
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя.
9. |
lim |
|
x2 +3x +2 |
|
|
|
. |
10. |
lim |
8 +3x −x2 −2 2 |
|
. |
|||||
|
|
− x −2 |
3 x2 +3x3 − 3 sin x |
|
|||||||||||||
|
x→−1 x3 + 2x2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1−sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
2sin2 x +sin x −1 |
|
|
|
|
11. |
lim |
|
|
2 |
|
. |
|
|
12. |
lim |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2sin2 x −3sin x +1 |
||||||||||
|
x→π log2 (x +1−π) |
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|||||||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
x |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
lim |
|
esin x −1 cos |
|
1 |
+ 4cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14. |
lim |
cos5x ln (1+2sin2 (π−2x)) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 tg(ln(1−5x)) |
|
(e3x − 3 1+7x ) |
|
|
|
|
|
77
|
В а р и а н т 25 |
||||
1. Докажите, что lim |
2 −2n |
= − |
1 |
(укажите N(ε)). |
|
3 + 4n |
2 |
||||
n→∞ |
|
|
Найдите пределы числовых последовательностей.
2. |
lim |
(n +1)3 −(n −1)3 |
. |
|
|
|
|
|||||
(n +1)2 +(n −1)2 |
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
) |
|
|
||||||
3. |
lim |
3 2n +1 |
( |
3 n2 +3n −2 − 3 n2 −n +1 |
. |
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
+18n −15 |
n+2 |
|
|
|
|
|||
4. |
lim |
|
7n |
. |
|
|
|
|
||||
2 |
+11n +15 |
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
7n |
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Докажите (найдите δ(ε)), что lim |
3x |
2 −40x +128 |
=8. |
||||||||
|
|
x −8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→8 |
|
|
|
Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и сделайте схематический чертеж.
|
1 |
|
|
|
2 |
, x <3, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
+ |
5) . |
|
||||
|
|
−5x +6 |
||||||
f (x) = 2ln(x |
7. f (x) = x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x ≥3. |
|
|
|
|
|
|
3, |
|
8.f (x) = x2 −x3 .
x−1
Найдите пределы функций, не применяя правило Лопиталя.
9. |
lim |
|
|
2x2 − x −1 |
|
. |
10. |
lim |
||||
|
x3 + 2x2 − x −2 |
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
x→0 |
||||||
11. |
lim |
1−2cos x |
. |
|
|
12. |
lim |
|||||
|
|
π−3x |
|
|
|
|||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→10 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
lim |
|
|
cos(1+ x) |
. |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 +sin |
|
|
ln(1+ x)+2 |
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
lim |
(etgx −cos3x)2 |
|
arcsin(2sin x) |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
1+(1−cos x) |
ln (1−sin x)−1 |
|
x2 −2x +1 −(x +1). 3 x(3x −1)2
lg x −1 . x −9 −1
78
Типовой расчет №3 Исследование функций с помощью производной
В а р и а н т |
1 |
|
1. Составьте уравнение |
нормали к |
данной кривой в точке с |
абсциссой x0 : y = x −0,25x2 ; |
x0 = 2. |
|
2.Вычислите приближенно значение y = 3 x при x = 7,99.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции
на замкнутом промежутке: y = x2 +16x −16; 1 ≤ x ≤ 4 .
4.Число 150 разложите на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:4, а произведение трех слагаемых было наибольшим.
5.Исследуйте поведение заданной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 4x − x2 −2cos(x −2); |
x0 = 2 . |
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
16 − x2 |
и точки его |
||
4x |
−5 |
||||
|
|
|
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = x +33 x2 . |
8. |
y = |
x3 |
. |
9. y = (x2 +2x)ex . |
||
12(x |
−2) |
||||||
|
|
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
79
В а р и а н т 2
1. Составьте уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
y = 2x2 +3x −1; x0 = −2 .
2. Вычислите приближенно значение функции y = 3 x3 +7x при
x=1,012 .
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции на замкнутом промежутке:
y = 4 − x − |
4 |
; 1 ≤ x ≤ 4. |
|
x2 |
|||
|
|
4.Число 204 разложите на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:7, а произведение трех слагаемых было наибольшим.
5.Исследуйте поведение заданной функции в окрестности указанной точки с помощью производных высших порядков:
y = 6ex−2 − x3 +3x2 −6x; |
x0 = 2 . |
|
|
|
||
6. Найдите асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
−1 |
|
и точки его |
|
4x2 |
−3 |
|||||
|
|
|
пересечения с осями координат. По найденным данным схематически постройте график.
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
7. y = 2x −33 (x −1)2 . 8. y = |
x |
|
. |
9. y = x4e−2x2 . |
|
(x + |
2)2 |
||||
|
|
|
10. По графику функции постройте график ее первой производной.
80