dilman_tipovoy_raschet

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок

AB в

отношении 3:1,

а точка E

делит

отрезок

BC

в

JJJG

G

JJG

G

JJG

отношении 1:3. Пусть AB

= a , BC = b . Найдите вектор BF.

8.

G

G

G

G

G

a

=1,

b

= 2

и векторы

p

и

q

Пусть p = 2a

−b, q

= a

+ b,

G

перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q .

9.

Найдите координаты вектора x (2; x; x), если проекция вектора

xG×aG

(1; 2; −1) на вектор bG(2; −1; 2) равна −1.

JJJJG

10. В тетраэдре PSQM

JJG

(4; −2; −1),

JJG

QP

QS(0; 2; 5),

QM (2; 0; −4).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины Q

на грань PSM.

11. В

∆ABC

известны:

вершина

B(−1; 2) ,

сторона

AC : 2x −3y −6 = 0,

высота CH : x −4y −3 = 0 .

Найдите уравнение

средней линии ∆ABC , параллельной стороне AB.

12. Составьте

уравнение

прямой, проходящей

через

точку

A(0; 2; −1) и две скрещивающие прямые:

x = 0,

x +3

y

z + 2

.

l1 :

y = 4t

+ 2,

l2 :

=

=

2

−1

1

−1.

z = −t

13. В

параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1: A(1; 2; 4), B(2; −1; 0),

В а р и а н т

10

1.

Вычислите определитель

−1

0

1

1

1

2

3

−1

.

0

4

3

2

1

−1

1

2

2.

Найдите матрицу C:

−1

0

2

3

1

0

−3

−3

4 0

−2 −6

C = (B

T

B −A

2

)

T

; A =

−7 6 4

−8

1

0

1

2

;

B =

.

1

0

−1

−1

0

−1

−5

5

3.

Решите систему методом Крамера:

2y −5z = 31,

+ y

−2z =15,

2x

−3x + 2y + z = −2.

4.

Решите матричное уравнение

7 1 −2 15 −20 30

−2

−1 5

−60 15

X

= 0

.

0

0

2

20

120

−15

5. Решите систему методом Гаусса:

2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =1,

x1 − x2 + x3 + x4 −2x5 = 0,

+3x2

−3x3 −3x4 + 4x5

= 2,

3x1

+5x2

−5x3 −5x4 +7x5

= 3.

4x1

aG = (1; 3; 0),

6.

Проверьте,

что

векторы

образуют

базис:

bG = (0; −2; 3), cG = (1; 2; 8). Вектор

d составляет с осью OX угол

π

, с

3π

3

осью OY тупой угол, с осью OZ угол

;

d

=10. Какой угол вектор

G

4

G

G

G

d образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c .

22

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении

2 :1, а точка F делит

отрезок CD в

отношении

3:1.

Пусть

JJG

G

JJJG

G

AB = a ,

AD

= b . Найдите

JJJG

JJG

векторы BG и

EG.

G

G

G

G

G

G

G

,

a

=1,

b

= 3 и

=

31 . Найдите

8. Пусть p

= a

−2b

, q = −a

+ 4b

p

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG = (2; 1; −3)

и

b(−2; 3; 1), а его проекция на

вектор cG(2; −3; 6) равна −8.

JJG

JJJG

10.

JJG

(−2; 4;

−

В тетраэдре ABCD BA

6), BC(0;

−1; 2), BD(4; 0; −2).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины B

на грань ACD.

11.

Высота и медиана, проходящие через разные вершины

треугольника ABC, лежат на прямых, заданных уравнениями

соответственно

3x + y −8 = 0

и

x − y −2 = 0.

Найдите уравнения

сторон AB и AC, если B(9; 1).

12.

Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой

l :

x −4

=

y −1

=

z

относительно плоскости x − y +2z +5 = 0.

3

2

0

13.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(2; 1; −1),

B(3; 4; 5),

C(1; 2; −1), A1 (1; 2; 4). Найдите расстояние между прямыми BD и

B1C.

Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек

14.

которой до данной точки A(−6; 0)

и данной прямой x = −

8

равно

3

.

3

2

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB

в

отношении

2 :1,

а

точка

E

делит

отрезок

BC в

отношении 1: 2 . Пусть

JJJG

G

JJG

G

JJJG

JJG

AB = a ,

AC

= b . Найдите векторы DF и AF.

G

G

G

G

G

a

= 2 ,

b

=1,

G G

8.

Пусть

p = 2a + b ,

q = a

−4b,

(a; b)=1200 .

Найдите косинус угла между векторами p и q .

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален

векторам

aG

(−1; 1; 2)

и

b(2; 1; 1),

образует с вектором

cG(−1; 2; 3) тупой угол, а модуль вектора x равен 140 .

JJJG

10. В тетраэдре DEFL

JJG

JJG

−1; 2).

DE(5; 0; −3),

DF(1; 1; 1),

DL(0;

Найдите уравнение стороны AC.

12.

Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой

l :

x +1

=

y −2

=

z +1

относительно плоскости 2x − y +2z +20 = 0.

3

0

4

B(2; 1; −1),

13.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(3; 1; 1),

C(4; 1; 2), A1 (3; 2; 2). Найдите расстояние между прямыми AB1

и

A1C1.

Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек

14.

которой до данной точки A(12; 0) и данной прямой x =

16

равно

3

.

3

2

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

y = 2 +

1

4x − x2 +5 ,

изобразите ее

на координатной

плоскости,

3

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении

2 : 3

, а точка F делит

отрезок

CD

в

отношении

2 :1.

Пусть

JJG

G

JJJG

G

Найдите

AB = a ,

AD = b .

JJJG

JJG

G

G

G

G

G

векторы AG

иGGF. G

8.

Пусть

p = 2a

−b,

q = a +

4b ,

a

= 2 ,

b

=

3,

(a; b)= 600 .

G

на вектор p .

Найдите проекцию вектора p −2q

9.

Найдите

координаты

вектора

x (x; 1; − x),

если

проекция

вектора xG×aG

(2; 1; 1)

на вектор b(2; 6; −3) равна −7.

JJJG

10. В

тетраэдре

SPKT

JJG

JJG

KT(3; 0; 6),

KP(2; 1; 2),

KS(0; 1; 2).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины K

на грань TPS.

11. В

равнобедренной

трапеции

ABCD

известны

уравнение

l :

x

=

y +1

=

z −

2

относительно плоскости −3x +2y −z +16 = 0.

−2

3

0

13. В

параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(1; 3; 2), B(2; 4; 3),

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

x =1+ 2 y2 −6y +10 ,

изобразите ее

на координатной

плоскости,

найдите координаты фокусов этой кривой.

7.

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок

AB

в

отношении

2 :1, а

точка

E

делит

отрезок

BC

в

JJJG

G

JJG

G

JJG

JG

отношении 2 : 3. Пусть AB = a ,

AC = b . Найдите векторы FC и FE .

G

G

G

G

G

a

= 2 ,

b

=1,

G G

8.

Пусть

p = 2a

+ b ,

q

= a

−4b,

(a; b)=1200 .

Найдите

длину

диагоналей

параллелограмма,

построенного

на

G

G

векторах p и q .

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален

векторам aG

(3; 0; 2) и

b(1; 2; −4),

а его проекция

на

вектор cG

(2; 1; −2) равна −2.

A(−4; 0; 0),

B(−6; 2; 1),

C(−2; 5; −6),

10. В

тетраэдре

SABC

стороны.

12.

Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой

l :

x +1

=

y −2

=

z +3

относительно плоскости −2x + y +4z −1 = 0 .

−3

−1

1

13.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(2; 3; 0), B(1; −1; 1),

C(2; 1; 3), A1 (3; 1; 2). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

14.

Составьте

уравнение кривой, отношение расстояний точек

В а р и а н т

14

1.

Вычислите определитель

2

1

8

1

1

−3

9

−6

.

0

2

−5

2

1

4

0

6

2.

Найдите матрицу C:

1

0

−1

0

C = (−2AT A −4B)

T

;

A =

−7 0 3 1

B =

2

−3 0 2

;

3

−3

−4 1

.

5 0

−3 −4

6

−8

9

3.

Решите систему методом Крамера:

−1

3x + 2y + z = −6,

+ 4z

= 6,

x

5x + 2y +6z = 0.

4.

Решите матричное уравнение

−5 0

1 −1 30 −10

X

2

=

20

−50

.