- •Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- •Упражнения
- •§4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- •Упражнения
- •§4.1.3. Матрица линейного оператора
- •Упражнения
- •§4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- •Упражнения
- •§4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- •Упражнения
- •§4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- •Упражнения
- •§4.1.7. Группа ортогональных матриц
- •Упражнения
- •§4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- •Упражнения
- •Глава 4.2. Квадратичные формы
- •§4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- •Упражнения
- •§4.2.2. Теорема Лагранжа
- •Упражнения
- •§4.2.3. Закон инерции
- •Упражнения
- •§4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •Упражнения
- •§4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- •§4.2.6. Билинейная форма
- •Упражнения
- •§4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- •Упражнения
- •Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- •§4.3.1. Относительная линейная независимость
- •§4.3.2. Относительный базис
- •§4.3.3. Корневые векторы
- •Упражнения
- •§4.3.4. Корневое подпространство
- •Упражнения
- •§4.3.5. Канонический базис
- •§4.3.6. Циклическое подпространство
- •§4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- •§4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- •§4.3.9. Единственность канонической формы Жордана
Упражнения
Докажите, что если матрица Qневырождена, то ранги матрицA и QTAQ равны.
Найдите матрицы квадратичных форм ,,.
§4.2.2. Теорема Лагранжа
Теорема. Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к виду, в котором коэффициент при квадрате первой переменной отличен от нуля.
Доказательство. Рассмотримквадратичную формугдеЕслиа110, то утверждение доказано. Еслиа11= 0, но, скажема220, то изменим нумерацию неизвестных:
x1 = y2, x2 = y1, x3 = y3, … xn = yn.
Матрица этого линейного преобразования имеет вид:
,
невырожденная, так ее определитель равен -1. В преобразованной квадратичной форме коэффициент при уотличен от нуля.
Пусть теперь коэффициенты при квадратах всех переменных равны нулю, но а120. Тогда невырожденное линейное преобразование
приводит квадратичную форму к виду, в котором коэффициент при уотличен от нуля. Если же коэффициенты при квадратах всех переменных равны нулю иа12= 0, но0, то изменив нумерацию переменных, сведем задачу к предыдущему случаю. ■
Квадратичная форма имеет канонический вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, т. е..
Теорема. (Лагранжа). Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду.
Доказательство. С помощью невырожденного линейного преобразования приведем квадратичную формуf к виду, в котором а110. Все слагаемые, содержащиех1, соберем в одну скобку и дополним эту скобку до полного квадрата, получим
,
где оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму g(x2, …,xn) от неизвестныхх2, …,хn. Невырожденное линейное преобразование неизвестных
приводит квадратичную форму к виду
.
Повторив рассуждения, с учетом того, что последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований вновь невырожденное линейное преобразование, получим утверждение теоремы. ■
Пример. Приведите с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных к каноническому виду квадратичную форму f =.
Линейное преобразование приводит квадратичную форму к виду А линейное преобразование приводит к виду. Найдем сквозное линейное преобразование . Оно невырожденное, так как определитель матрицы линейного преобразования
равен – 2, то оно невырожденное.
Ответ: невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к каноническому виду
Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, а квадраты переменных входят с коэффициентами 1 или -1 или совсем не входят. После изменения нумерации переменных нормальный вид можно переписать так: вначале идут коэффициенты 1, затем -1, а затем нули,
.
Теорема. Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к нормальному виду.
Доказательство.Ограничимся доказательством возможности преобразования канонического видав нормальный вид с помощью невырожденного линейного преобразования:
, еслиai > 0 ;, еслиai < 0;, еслиai = 0. ■