- •Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- •Упражнения
- •§4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- •Упражнения
- •§4.1.3. Матрица линейного оператора
- •Упражнения
- •§4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- •Упражнения
- •§4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- •Упражнения
- •§4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- •Упражнения
- •§4.1.7. Группа ортогональных матриц
- •Упражнения
- •§4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- •Упражнения
- •Глава 4.2. Квадратичные формы
- •§4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- •Упражнения
- •§4.2.2. Теорема Лагранжа
- •Упражнения
- •§4.2.3. Закон инерции
- •Упражнения
- •§4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •Упражнения
- •§4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- •§4.2.6. Билинейная форма
- •Упражнения
- •§4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- •Упражнения
- •Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- •§4.3.1. Относительная линейная независимость
- •§4.3.2. Относительный базис
- •§4.3.3. Корневые векторы
- •Упражнения
- •§4.3.4. Корневое подпространство
- •Упражнения
- •§4.3.5. Канонический базис
- •§4.3.6. Циклическое подпространство
- •§4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- •§4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- •§4.3.9. Единственность канонической формы Жордана
§4.3.4. Корневое подпространство
Определение. Подпространство линейного пространства называетсяинвариантным относительно линейного оператора , если линейный операторэлементы подпространства отображает в элементы этого же подпространства.
Теорема. Множество всех корневых векторов линейного пространстваV/K, принадлежащих одному собственному значению линейного оператора, образует подпространство линейного пространстваV, инвариантное относительно линейного оператора.
Доказательство. Для доказательства первой части теоремы достаточно проверить все аксиомы линейного пространства.
Если (-)hc=, то (-)h (с) =((-)hc) =() =, т.е. еслис– корневой вектор, то ис – тоже корневой вектор, принадлежащий тому же собственному значению. ■
Обозначим через множество всех корневых векторов линейного пространстваV/K, принадлежащих собственному значениюлинейного оператора. – корневое подпространство, принадлежащее собственному значениюлинейного оператора.
Теорема. Пусть1, ... ,m – все попарно различные собственные значения линейного оператора, действующего в линейном пространствеV/KТогда линейное пространствоVесть прямая сумма корневых подпространств:
V= ... (2)
Доказательство. Так как1, ... ,m – все различные собственные значения линейного оператора, то его характеристический многочлен имеет вид:
(х) = (х-1)... (x-m)
и многочлены
1(х) = (x-2)(x-3)... (x-m),
2(х) = (x -1)(x-3)... (x-m),
m(х) = (x -1)(x-m -2)(x-m)
взаимно простые. По теореме о линейном представлении НОД существуют многочлены v1(x), ...,vm(x) изKx, для которых
1(x)v1(x) + ... +m(x)vm(x) = 1 или1()v1() + ... +m()vm() =.
Для любого элемента a из линейного пространстваV получим
1()v1()a + + m()vm()a = a.
Введем обозначения:
1()v1()a = a1, , m()vm()a = am.
Тогда a = a1+ ... +am. Так как (-i)i () =(), а по теореме Гамильтона-Кэли линейный оператор() – нулевой, то
( - i )ai = ,
т.е. , 1 i m V + ... +
V= + ... + .
Предположим, что y1 + ... +ym =, yi , 1 i m. Тогдау1 =, ..., ym =. В противном случае получаем противоречие с тем, что ненулевые векторыy1,, ym линейно независимы. Из единственности представления нулевого вектора в виде суммы элементов из подпространств следует, что сумма прямая. ■
Замечание. Из доказательства следует, что если
(х) = (х-1)... (x-m) ,
то
V = Ker( -1) Ker( -2) Ker( -m).
Упражнения
Докажите, что сумма и пересечение подпространств, инвариантных относительно линейного оператора , также инвариантны относительно.
Докажите, что ядро и образ линейного оператора, действующего в линейном пространстве, инвариантны относительно .
Докажите, что линейные операторы и – имеют одни и те же инвариантные подпространства, –любое число.
Докажите, что если линейный оператор невырожден, то и -1 имеют одни и те же инвариантные подпространства.
Пусть с– корневой вектор линейного оператора, принадлежащий собственному значению и имеющий высотуh > 0. Докажите, что линейная оболочка для векторов
( - )h –1c, ( - )h –2 c, ..., ( - )c
является инвариантным подпространством линейного оператора .
Докажите, что корневое подпространство линейного оператора является инвариантным подпространством любого линейного оператора, перестановочного с.