Упражнения

1. Линейный оператор Аунитарного (комплексного евклидового) пространства называетсянормальным, еслиДокажите, что линейный оператор нормален тогда и только тогда, когда для него существует ортонормированный базис из собственных векторов.

2. Линейный оператор Uунитарного пространства называетсяунитарным, еслиДокажите, что нормальный оператор унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице.

3. Линейный оператор Нунитарного пространства называетсяэрмитовым, если. Линейный операторKунитарного пространства называетсякосоэрмитовым, если. Докажите, что нормальный оператор эрмитов тогда и только тогда, когда все его собственные значения действительны.

4. Эрмитов оператор Hунитарного пространства называетсянеотрицательным, еслидля любого ненулевого векторах. Докажите, что эрмитов оператор неотрицательный тогда и только, когда все собственные значения этого оператора неотрицательны.

5. Эрмитов оператор Hунитарного пространства называетсяположительно определенным, еслидля любого ненулевого векторах.Докажите, что эрмитов оператор положительно определен тогда и только, когда все собственные значения этого оператора положительны.

6. Докажите, что для любого линейного оператора, действующего в унитарном пространстве, существует эрмитово разложение

, гдеН₁иН₂– эрмитовы операторы,.

7. Докажите, что если А – нормальный оператор, то нормальны также линейные операторыдля любой константы,для любого натуральногоk, f(A) для любого многочленаf(t), для невырожденного оператораА, .

8. Для любого линейного оператора Аунитарного пространства существует полярное разложение в виде произведения неотрицательного и унитарного операторов. Докажите это.

9. Докажите, что ядро нормального оператора является ортогональным дополнением к его образу.

10. Докажите, что инвариантное подпространство нормального оператора инвариантно и относительно .

§4.1.7. Группа ортогональных матриц

Матрица Rназываетсяортогональной, если R^-1 = R^T.

Теорема. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда сумма квадратов элементов ее строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов разных строк равна нулю.

Доказательство. Необходимость следует из равенстваRR^T = I и из правила умножения матриц строка на столбец. Если же сумма квадратов элементов ее строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов разных строк равна нулю, тоRR^T = I R^-1 = R^T.■

Теорема. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда сумма квадратов элементов ее столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна нулю.

Доказательство проводится аналогично. ■

Упражнения

1. Докажите, что ортогональные матрицы одного порядка образуют мультипликативную группу.

2. Пусть А– комплекснаяматрица. Матрицастроенияназываетсясопряженной по отношению к матрице А, если для всехi, j . Докажите свойства:

а) ;

б)

в) ;;

г)

д) ;

е) если линейный оператор невырожден, то ;

ё) для любого целого неотрицательногоm.

ж) для любого целогоm, если матрицаАневырожденная;

з) если f(t) = –произвольный многочлен, то, где (х) = .

3. Матрица Аназываетсянормальной, еслиДокажите, что в нормальной матрице скалярное произведение строкiиjравно скалярному произведению столбцов i и j.

4. Докажите, что в ортонормированном базисе унитарного пространства матрица нормального оператора нормальна. Обратно, нормальная матрица задает в ортонормированном базисе нормальный оператор.

5. Проверьте, что матрицы нормальные и для каждой найдите ортонормированный базис из собственных векторов

а); б); в); г).

6. Матрица Uназываетсяунитарной, еслиДокажите, что матрица унитарна тогда и только тогда, когда все ее собственные значения по модулю равны единице.

7. Докажите, что унитарные матрицы одного порядка образуют мультипликативную группу.