- •Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- •Упражнения
- •§4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- •Упражнения
- •§4.1.3. Матрица линейного оператора
- •Упражнения
- •§4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- •Упражнения
- •§4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- •Упражнения
- •§4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- •Упражнения
- •§4.1.7. Группа ортогональных матриц
- •Упражнения
- •§4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- •Упражнения
- •Глава 4.2. Квадратичные формы
- •§4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- •Упражнения
- •§4.2.2. Теорема Лагранжа
- •Упражнения
- •§4.2.3. Закон инерции
- •Упражнения
- •§4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •Упражнения
- •§4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- •§4.2.6. Билинейная форма
- •Упражнения
- •§4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- •Упражнения
- •Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- •§4.3.1. Относительная линейная независимость
- •§4.3.2. Относительный базис
- •§4.3.3. Корневые векторы
- •Упражнения
- •§4.3.4. Корневое подпространство
- •Упражнения
- •§4.3.5. Канонический базис
- •§4.3.6. Циклическое подпространство
- •§4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- •§4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- •§4.3.9. Единственность канонической формы Жордана
Упражнения
Найдите базисы ядра и образа линейного оператора
а)
б)
в).
Приведите пример линейного оператора, для которого линейное пространство не является прямой суммой его образа и его ядра.
Приведите пример двух различных линейных операторов линейного пространства Mn многочленов степени, имеющих одни и те же образ и ядро.
Опишите ядро и образ оператора дифференцирования в пространстве Mn.
Найдите ядро и образ в пространстве Mn разностного оператора, гдеh– фиксированное число, отличное от нуля.
Докажите, что любое подпространство n-мерного линейного пространства является а)ядром некоторого линейного оператора; б) образом некоторого линейного оператора.
Оператор Рпроектирования прямой суммы Х линейных подпространств L1 ина L1параллельноL2каждому векторух1 + х2 изХ ставит в соответствие векторх1. Найдите ядро и образ оператора проектирования.
Докажите, что если ядро линейного оператора, действующего в линейном пространстве, нулевое, или если образ совпадает со всем линейным пространством, то оператор биективен.
§4.1.3. Матрица линейного оператора
Пусть – базисV/K.Каждый элементлинейного пространства можно записать в виде линейной комбинации векторов базиса
(1)
… … … … … … …
Матрица А с элементаминазываетсяматрицей линейного оператора в базисе . Соотношения (1) в матричной форме можно переписать так
(2)
где . Рассмотрим квадратные матрицы одного порядкаА иВ. МатрицаВназываетсяподобной матрице А, если существует невырожденная матрицаС, для которойВ = С-1АС. Обозначается это так:
Свойства подобия матриц
А А;
А ВВА;
А В, ВСАС:
А В
А В
Теорема. Матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах подобны.
Доказательство. Пусть e =Cf, где f и e – базисы линейного пространства, A и B – матрицы линейного операторав этих базисах, C – матрица перехода от одного базиса к другому. Тогда
■
Упражнения
Дифференцирование является линейным оператором линейного пространства всех многочленов от одного переменного с вещественными коэффициентами степени n. Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе
а) 1, х,х2, …,xn; б) 1,х – с,, …,;с– вещественное число.
Докажите, что следующие условия эквивалентны:
(1) матрица линейного оператора в некотором базисе невырождена;
(2)
(3) переводит базис в базис;
(4) –инъекция, т.е.;
(5) –сюръекция, т.е.;
(6) для существует обратный линейный оператор, т.е.для всеххизV.
Пусть Оij– правая декартова система координат на плоскостиR2. Найдите в этом базисе матрицу линейного оператора поворотаR2на уголвокруг начала координат против часовой стрелки.
Пусть i, j, k – правый ортонормированный базис трехмерного евклидова пространства R3геометрических векторов. Найдите матрицу линейного оператораАх = ,гдеа– фиксированный вектор с координатамив этом базисе.
Найдите матрицу оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве, натянутом на базисные функции:
а)б).
Линейное пространство X является прямой суммой подпространств L1иL2 , - базис подпространстваL1, – базисL2. Найдите в базисе
а) матрицу оператора проектирования на L1параллельноL2;
б) матрицу оператора проектирования на L2 параллельно L1;
в) матрицу оператора отражения в L1параллельноL2.
Линейный оператор А, действующий в трехмерном арифметическом пространстве, переводит линейно независимые векторыв векторы, гдеа1= 5е1 + 3е2 +е3, а2=е1 - 3е2 - 2е3 а3=е1 + 2е2 +е3;
b1= -2е1 +е2 , b2= -е1 + 3е2 , b3=-2е1 - 3е2
Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе а) ; в).
В базисе линейного пространства квадратных матриц порядка 2:
.
записать матрицу линейного оператора
а) транспонирования: Х ;
б) GAB:Х АХВ, гдеАиВ – заданные матрицы;
в) FAB :Х АХ + ХВ.
Как изменятся эти матрицы, если в базисе поменять местами матрицы:
?