§4.3.9. Единственность канонической формы Жордана

Теорема.Матрицы линейного оператора в двух разных канонических базисах составлены из одних и тех же клеток и отличаются лишь порядком расположения клеток.

Доказательство. Возьмем два канонических базиса линейного пространства для линейного оператора. Суммы порядков клеток Жордана матрицы линейного оператора для его фиксированного собственного значения равны кратности этого собственного значения как корня характеристического многочлена линейного оператора.

Поэтому она одна и та же для матриц линейного оператора в разных канонических базисах (так как матрицы линейного оператора в разных базисах подобны, характеристические многочлены подобных матриц равны и многочлены представляются в виде произведения неприводимых множителей единственным образом). Тем самым доказательство теоремы сводится к доказательству утверждения в корневом пространстве.

Фиксируем произвольное собственное значение линейного оператора и пусть корневое пространство представимо в виде прямой суммы циклических подпространств двумя способами

Нам надо доказать, что r= s, k_i = l_i. Без ограничения общности можно считать, чтоk₁ k₂ ... k_s , l₁  l₂  ...  l_r. Предположим, чтоk₁ = l₁ , ... ,, k_j > l_j;. Тогда

= (l₁–l_j) + ... + (l_j-1–l_j) =k₁–l_{j) + ... +} (k_{j –1}–l_j)

(так какk₁=l₁, ... ,k_j –₁=l_j –₁)(k_j–l_j) + ... = 0.

В сумме (k_j – l_j) + ... все слагаемые или равны нулю или положительны. Получили противоречие с тем, что она должна равняться нулю. Продолжив рассуждения аналогичным образом, получимk_i = l_i , r = s.