2.2. Функции.

Если каждому элементу множества A поставлен в соответствии единственный элемент множества B, то говорят, что задано отображение из A в B или функция . Если, то элементa называется образом элемента b , а b -прообразом элемента a.

Функция f называется:

- инъекцией, если из следует ;

- сюръекцией, если для каждого существуеттакой, что;

- биекцией, если f является инъекцией и сюръекцией одновременно.

Для биекции fможно определить обратную функцию. Примерами прямой и обратной функций в математическом анализе являетсяиln x, sin x и arcsin x, x² и

Если на множествах A и B определены отношения частичного порядка, то функция называется монотонной, если изследует.

Пусть . Тогда можно определить композицию функцийg ●, при которой образом элементаявляется. В курсе математического анализа подобную функцию называют сложной функцией.

Множество всех биекций из A в A с операцией композиции образует группу. Если A -конечное n-элементное множество, то это S_n -симметрическая группа степени n.

2.3. Алгебраические структуры и морфизмы.

n-арной операцией на множестве А называется отображение , которое каждому упорядоченному набору длины n из элементов множества А сопоставляет некоторый вполне определённый элемент этого же множества.

Множество Авместе с набором заданных на нём операций, где называется алгебраической структуройили просто алгеброй. При этом множествАназывается носителем структуры, а набор операций- сигнатурой. Чаще всего встречаются операции, арность которой равна2, бинарные. Таковы, в частности, обычные операции сложения и умножения на числовых множествах. Известными алгебраическими структурами являются группы, кольца, поля.

Подмножество называется системой образующих, если любой элемент А может быть получен из А с помощью операций сигнатуры. Так, в алгебре натуральных чисел с операцией сложения (полугруппе) один элемент1 – является образующим, а в алгебре натуральных чисел с операцией умножения (моноиде) системой образующих является множество простых чисел и единица.

Пусть имеются две алгебры и, причем арность соответствующих операций одинакова.

Определение. Отображение называется гомоморфизм изA в B , если оно сохраняет все операции сигнатуры, то есть . Еслиf - биекция, то гомоморфизм называется изоморфизмом.

С алгебраической точки зрения изоморфные алгебраические структуры неразличимы. Примером изоморфизма алгебраических структур является алгебра множества действительных чисел с операцией сложения (группа) и алгебраположительных действительных чисел с операцией умножения (группа). Биективным отображениемустанавливающим изоморфизм является функция, так как. На данном изоморфизме основано, в частности, выполнение умножения с помощью логарифмической линейки, так как обратное отображениезадается логарифмической функциейи.

В качестве примера гомоморфизма алгебраических структур, не являющегося изоморфизмом, можно привести алгебру квадратных матриц заданного порядка n над полем действительных чисел с операцией умножения матриц (моноид) и алгебру действительных чисел с операцией умножения (моноид). Отображением, задающим гомоморфизм из множества матриц в множество чисел, является операция вычисления определителя квадратной матрицы: .

Гомоморфизм называется:

• мономорфизмом, если f - инъекция;

• эпиморфизмом, если f - сюръекция;

• эндоморфизмом, если f - отображает носитель

структуры на себя;

• автоморфизмом, если f - биективный эндоморфизм.

Примером автоморфизма группы является операция сопряжения с помощью фиксированного элемента , так как.

Пусть задана некоторая алгебраическая структура Отношение эквивалентностиR на множестве A называется отношением конгруэнтности, если оно согласовано со всеми операциями сигнатуры в следующем смысле:

из

следует R .

Другими словами, класс эквивалентности, в который попадает результат любой операции сигнатуры, полностью определяется классами, из которых берутся аргументы операции.