48. Поверхности второго порядка.

Опр. Поверхностью второго порядка называют множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+2b₁x+2b₂y+2b₃z=0(*)

Уравнение второй степени от 3 неизвестных- общее уравнение поверхности 2-го порядка.

Уравнение * можно привести к одному из следующих видов

1. одного знака( собств. числа квадратичной формы)- уравнение эллиптического вида

а) Каноническое уравнение эллипсоида

Замечание. Если 2 собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, то уравнение * становится уравнением сферы

б) Точка в пространстве

в) Пустое множество

2.Если разных знаков

* приводится к каноническому виду

Ортогональные инварианты квадратичной функции

Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции, которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных ,называются инвариантами относительно аффинной замены переменных, или, короче, аффинными инвариантами квадратичной функции. Например, знак определителя det A матрицы квадратичной формы функции не изменяется при замене, так как, согласно

Аналогично, учитывая получаем, что , т.е. знаки определителейdet P’ и det P совпадают при любой линейной невырожденной замене переменных.

Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции, которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных с ортогональной матрицей S,_­(S^T=S^-1) называются инвариантами относительно ортогональной замены переменных, или, короче, ортогональными инвариантами квадратичной функции. Эти алгебраические выражения являются важнейшими геометрическими характеристиками поверхности второго порядка и могут быть использованы как для их классификации, так и для построения, поскольку преобразование прямоугольной системы координат соответствует ортогональной замене переменных. Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать преобразования квадратичных функций при ортогональных заменах переменных.