4.Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.

Тригонометрической формой комплексного числа называется модуль r и аргумент φ. Любое число z ≠ 0 может быть представлено в тригонометрической форме. а + bi = r (cos φ + i sin φ). Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b·i обозначается |a + b·i|, а также буквой r. r= | a+b·i |= Корень из (a²+b²). Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b·i, называется аргументом комплексного числа a + b·i. (tg(φ)=b/a), (cos(φ)=a/корень из a²+b²), (sin(φ)=b/ корень из a²+b²)

5.Матрицы и действия над матрицами

Матрица-Всякая система чисел расположенная в виде прямоугольной таблицы которая содержит m-строк и n- столбцов, называется матрицей размера mxn. Действия над матрицами: 1)Сложение- Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера каждый элемент которой, равен сумме соответствующих элементов слагаемых. 2) Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число. 3) Произведением матрицы А на матрицу В, называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В.

6.Определить квадратной матрицы. Вычисление определителей 2 и 3 порядка.

Определителем 2 порядка называется разность произведения её главной диагонали на побочную. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка.

Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого

столбца матрицы А

7.Определитель n-ого числа. Определение, свойства определителей

Определителем n-ого порядка называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и которое равно сумме всевозможных произведений её элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Свойства:1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится. 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный. 4.Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю. 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю. 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз. 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей. 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

8.Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки (столбца).(теорема Лапласа).

Минором M_ig элемента a_ig определители n-ого порядка называется определитель (n-1) порядка полученный из данного удалением итой строки и житого столбца. Алгебраическим дополнением (обозначается A_ig) элемента A_ig определителя, называется его минор взятый со знаком (-1)^i+j т.е A_ig=(-1)^i+j*M_ig. Теоремы Лапласа: 1)Всякий определитель равен сумме произведений элементов любого своего ряда на их алгебраические дополнения. 2) Сумма произведений любого ряда определителя на алгебраические дополнения элементов другого параллельного ряда равна нулю.

9. Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную, как слева так и справа, получается единичная матрица. Если квадратная матрица А имеет обратную, то она единственная. Каждая квадратная матрица А, определитель которой не равен нулю, имеет единственную квадратную матрицу, которая вычисляется по формуле А^-1=1/ |A| * A(присоединённую). Не для каждой квадратной матрицы существует обратная т.к. если определитель матрицы равен нулю, то обратной матрицы не существует. Такая матрица

называется вырожденной.

10. Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.

Элем. Преобр. Матрицы: 1)Перестановка двух параллельных рядов. 2)Умножение всех элементов любого ряда на отличное от нуля число. 3)Удаление из матрицы или приписывание к матрице ряда состоящего из нулей. 4) Замена одного ряда матрицы его суммой с другим параллельным рядом умноженным на некоторое число. 5) Транспонирование матрицы. Ранг матрицы- наибольший порядок ненулевого минора.Ранг матрицы методом Жардана-Гаусса вычисляется путем применения элементарных преобразований.

11. СЛАУ. Основные понятия.

Слау-линейная система уравнений, состоящая из неизвестных х1,х2..,коэффициентов при неизвестных а1,а2 и свободных членов b1,b2

1)Решение системы уравнений с n-неизвестными, называется любой набор n-чисел при подстановке которых в систему, вместо неизвестных, уравнение обращают в тождество. 2) Две системы с одинаковыми неизвестными называются равносильными, если их множества совпадают т.е. всякое решение одной из системы является решением другого или обе системы не имеют решения. 3)СЛАУ называют однородной если b₁=b₂=b_n=0. 4)Система называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если решений нет. 4) Если решение единственное, то оно называется определённым.

12.Решение СЛАУ матричным способом

Матрица А составляется из коэффициентов при неизвестных в СЛАУ

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица A^-1. Умножим обе части матричного уравнения A*X=B слева на A^-1.Сократив в левой части уравнения A и A­^-1 получаем X=A^-1*B.Решение СЛАУ матричным методом определяется по этой формуле. Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы A­^-1.Систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда определитель основной матрицы отличен от нуля.

13.Решение матричных уравнений

A*X=B

X=A^-1*B

Полученная формула позволяет решать в матричной форме «крамеровскую» систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель не равен нулю

14.Формулы Крамера для решения СЛАУ.

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где- определитель матрицы системы,- определитель матрицы системы, где вместоn -го столбца стоит столбец правых частей. Если определитель не равен нулю, то матрица A невырожденная.

15. Исследование СЛАУ. Теорема Кронекера- Капелли.

Для того, чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен рангу расширенной матрицы А. rang A = rang(A/B). Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Если ранг матрицы А не равен рангу расширенной, то система несовместна. Если ранг матрицы А равен расширенной, то система совместна. Однородная система всегда совместна если она имеет нулевое решение. В однородной системе основная матрица А и расширенная различаются

только нулевым столбцом.

16.Метод Жордана Гаусса для решения СЛАУ.

Решить систему линейных уравнений методом Ж. Гаусса, это значит получить равносильную (систему с базисом) или равносильную несовместную систему линейных уравнений.

Метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Для того, чтобы найти решение системы уравнений методом Гаусса и чтобы решение было единственным необходимо, чтобы количество уравнений было равно количеству переменных в системе, то есть необходимо, чтобы система была квадратной.

17.Система координат.

Система координат — Способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

18.Проекция вектора на числовую ось. Координаты вектора. Базис.

Ось- прямая, которая имеет: направление, начало отсчёта и единицу масштаба. Направление можно задать каким-либо вектором n сонаправленным с осью, если вектор единичный, он называется ортом

Проекцией вектора а на ось (i,j,k) называется проекция на координатные оси ox,oy,oz.

Координатами вектора a называются проекции a_x и a_y данного вектора на оси Ox и Oy соответственно

Базисом в пространстве называется 3 линейно независимых вектора взятых в определенном порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

19. Свойства геометрических векторов

Геометрический вектор- направленный отрезок. Вектор называют нулевым, если начало и конец совпадают.Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или параллельных.Векторы равны, если они коллинеарны и их длины равны.Свободные векторы-векторы, которые можно откладывать от любой точки плоскости или пространства. Это значит, что мы можем их переместить параллельно их направлению.

20. Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции

Модуль вектора а- расстояние от начала вектора до конца этого вектора.

Если -углы, образуемые вектором а с координатными осями, то по определению проекций а₁=|А₁|cos.Косинусы этих углов- направляющие косинусы. а*1\а=а₀(единичный вектор)

а₀=(cos,cos,cos) cos²+ cos²+ cos²=1

21.Линейные операции над векторами. Алгебраические и геометрические свойства.

Произведением вектора а на действительное число к называется вектор b, коллинеарный вектору а,имеющий длину равную к*а и имеющий направление, совпадающее с а. если к>,то а и b сонаправленны, если к<0, то a и b противоположно направленны

Сложение(коммутативность- переместительный закон a+b=b+a, ассоциативность a+(b+c)= a+b+c=(a+b)+c сочетательность) и умножение вектора на число (ассоциативность числовых сомножителей, дистрибутивность распределительный закон (a+b)c=ac+bс)

22.Скалярное произведение векторов. Свойства.

Скалярное произведение двух векторов- это число равное произведению длины одного из векторов на проекцию другого вектора, на ось определяемую первым вектором. Свойства: геометрические1)Два вектора ортогональны тогда, когда их скалярное произведение равно 0. 2) Два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда, когда их скалярное произведение больше (меньше) 0. 3)Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на самого себя a*a=|a²|

Алгебраиеские:1)a*b=b*a коммутативность(переместительный закон) 2) ассоциативность- этосочетательность 3) (a+b)c=ac+bc дистрибутивность- распределительный закон 4)a*a>0, если a не равно 0, a*a=0,если a=0 если линейное пространство удовлетворяет этим 4 свойствам, то оно называется унитарное.

23.Векторное произведение векторов. Свойства.

Векторным произведением двух векторов A на Б называется такой вектор С, который удовлетворяет 3 условиям: 1) |C|=|A|*|Б|*sinф. 2) Вектор |C| перпендикулярен векторам |A| и |Б|. 3) Направление вектора С обозначается по правилу: Если смотреть с конца вектора, поворот от А к Б совершается против часовой стрелки. Алгебраические свойства: Ассоциативность, коммутативность. Геометрические свойства: Длина вектора С равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Чтобы найти векторное произведение векторов, заданных своими координатами нужно вычислить определитель 3-го порядка, у которого в первой строке стоят орты, во 2-ой и 3-ей соответственно координаты векторов.

24. Смешанное произведение векторов. Свойства.

Смешанным произведением 3-х векторов называется векторное произведение 2-х векторов на третий вектор. Геометрический смысл: Абсолютная величина смешанного произведения равна объёму параллепипеда построенного на этих векторах как на сторонах.Свойства:1.при перестановке местами 2 сомножителей смешанное произведение меняет знак

Abc=-bac ; acb=-abc; cab=-abc

2.при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется

3. Смешанное произведение равно нулю только тогда, когда векторы компланарны, то есть (a*b*c)=0 и они лежат в одной плоскости