- •1. Основы теории множеств
- •2.Операции над множествами
- •3.Комплексные числа. Действия над к. Ч. В алгебраической форме
- •4.Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •5.Матрицы и действия над матрицами
- •6.Определить квадратной матрицы. Вычисление определителей 2 и 3 порядка.
- •7.Определитель n-ого числа. Определение, свойства определителей
- •25.Разложение вектора по базису пдск(прямоугольная декартовая система координат)
- •26. Общее уравнение прямой на плоскости
- •27. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом
- •28. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках
- •29. Нормальное уравнение прямой.
- •30. Расстояние от точки до прямой
- •31. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •32.Плоскость. Общее уравнение плоскости.
- •33.Нормальное уравнение плоскости
- •34. Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
- •35. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •36. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- •37. Уравнения прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
- •38. Параметрическое задание прямой. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопрос 39. (Уравнение окружности).
- •43. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Инварианты
- •45. Линейные преобразования(операторы). Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.
- •46. Характеристическое уравнение матрицы линейного преобразования( оператора)
- •47. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •48. Поверхности второго порядка.
43. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Инварианты
(*)
Выясним какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением:
1. иодного знака, то уравнение *- уравнение эллиптического типа. Его можно привести к виду
, который в свою очередь преобразуется в следующую форму:
а) если с* имеет тот же знак что и и, при делении уравнений на с* получим канонические уравнения эллипса
б) с*=0 Тогда уравнение имеет единственное решение
x”=y” и оно определяет точку на плоскости
в) если знак точки с* противоположный, чем и, то уравнение имеет вид
Множество его решений пустое. Иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом
2. иимеют разные знаки. Тогда уравнение * называется уравнением гиперболического типа.
а)с*
Получим один из двух видов
или
Оба этих уравнений определяют гиперболу
в) с*=0 Получим уравнение
Получим уравнение, эквивалентное двум линейным уравнениям
или
3. Одно собственное число из иравно нулю. Уравнение получается параболического типа.
а)y''2=2b*x’’ это парабола
б) y''2=2b* или Получаем пару параллельных прямых
в)y’’2=0 Определяет одну прямую ( или пару совпадающих)
г)y’’2=-2b*2 Уравнение не имеет решений следовательно не определяет никакого геометрического образа
44. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты.1.коммутативность х+у=у+х(переместительное свойство)
2.ассоциативность (х+у)+z=x+(y+z)(сочетательное свойство)
3.ассоциативность относительно абсолютного множества
4.дистрибутивность относительно суммы векторов
5.дистрибутивность относительно суммы числовых множителей
6.Существует нулевой вектор такой, что х+0=х
7.Для любого вектора х существует противоположный вектор –х такой что х+(-х)=0
8.Особая роль числового множителя 1 1*х=х (для любого вектора)
Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и сложение вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствах, рассматриваемых как аксиомы, называется векторным пространством.
n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записываемых в виде
x=(x1,x2…xn) где xI – итая компонента вектора икс.
Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1,a2…am векторного пространства, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа.
am=a1+a2+am , где лямбда- любые числа.
Векторы а1,а2 векторного пространства m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа как ине равные одновременно нулю, что
В противном случае эти векторы называются линейно-независимыми ()
Если один из векторов обращен линейно, то все эти векторы линейно зависимы
Линейное пространство r называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из n+1 векторов уже являются зависимыми
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства r называется базисом
Теорема. Каждый вектор x линейного пространства r можно представить и притом только единственным образом в виде линейное комбинации векторов базиса. доказательство
x=x1e1+x2e2+..xnen, где xi=ei\i
В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе
a=2i+3j
a=4i+3j-2k
Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному по знаку координаты.
Пространство R n-мерно и e1,e2…en- его базис