- •1. Основы теории множеств
- •2.Операции над множествами
- •3.Комплексные числа. Действия над к. Ч. В алгебраической форме
- •4.Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •5.Матрицы и действия над матрицами
- •6.Определить квадратной матрицы. Вычисление определителей 2 и 3 порядка.
- •7.Определитель n-ого числа. Определение, свойства определителей
- •25.Разложение вектора по базису пдск(прямоугольная декартовая система координат)
- •26. Общее уравнение прямой на плоскости
- •27. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом
- •28. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках
- •29. Нормальное уравнение прямой.
- •30. Расстояние от точки до прямой
- •31. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •32.Плоскость. Общее уравнение плоскости.
- •33.Нормальное уравнение плоскости
- •34. Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
- •35. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •36. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- •37. Уравнения прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
- •38. Параметрическое задание прямой. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопрос 39. (Уравнение окружности).
- •43. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Инварианты
- •45. Линейные преобразования(операторы). Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.
- •46. Характеристическое уравнение матрицы линейного преобразования( оператора)
- •47. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •48. Поверхности второго порядка.
45. Линейные преобразования(операторы). Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.
Если задан закон или правило, по которому каждому вектору х из пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор у пространства Rm, то говорят, что задан оператор
Оператор называется линейным, если для любых векторов x,y пространства размерности n и любого числавыполняется равенство
1) - свойство аддитивности оператора
2) Свойство однородности оператора.
y=(x)- это образ вектора x, а сам вектор x называют прообразом вектора y
Если пространства Rn и Rm совпадают, то оператор a отображает пространство размерности n в себя.
Выберем в пространстве Rn базис e1,e2…en. И , учитывая, что x=x1e1+x2e2+…+xnen, запишем разложение произвольного вектор x по базису.
В силу линейности оператораполучаем(x)=y1e1+y2e2+…+ynen. Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства этих формул
y1=a11x1+a12x2+…+a1nxn
y2=a21x1+a22x2+…+a2nxn
y3=an1x1+an2x2+…+annxn
46. Характеристическое уравнение матрицы линейного преобразования( оператора)
А=(aij) i=1,n ; j=1,n
Матрица F называется матрицей оператора в базисеe1,e2…,en
r(A)- ранг оператора
Таким образом каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное. Всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n- мерного пространства. Связь между вектором х и его образом y=(x) можно выразить в матричной форме уравнений
Y=A*X, где A- матрица линейного оператора
x=(x1,x2,…,xn)T| матрицы столбцы из координат векторов х и у
y=(y1,y2,…,yn)T|
Действия над линейными операторами
1. Суммой двух линейных операторов и e1,e2,e3…en называется оператор
2. Произведением линейного оператора на числоназывается оператор*, определяемый равенством
3. Произведением линейных операторов называется оператор, определяемый равенством
Операторы, полученные в результате этих действий удовлетворяют отмеченным ранее свойствам аддитивности и однородности, а это значит являются линейными.
- линейный оператор, который переводит все векторы пространства размерности Rn в нулевые векторы
- тождественный оператор( как единичный)
Матрицы A и A* линейного оператора в базисах e1,e2…en и e1*,e2*…en* связаны соотношением A*=C-1*AC, где С- матрица перехода от старого базиса к новому
47. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадратичной формой f(x1,x2,…xn) или L(x1,x2,…xn) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных , либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом.
Квадратичная матрица называется симметрической если aij=aji, т.е если равны элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали.
Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы.
1.Все собственные числа симметрической матрицы действительны
2. Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.
3.Матрицей квадратичной формы называется матрица
Таким образом все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а векторы ортогональны.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Опр. Каноническим видом квадратичной формы называется следующий вид.
Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма примет канонический вид.
Пусть
e'1=b11e1+b21e2+b31e3
e’2=b12e1+b22e2+b32e3
e’3=b13e1+b23e2+b33e3
Нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам матрицы в ортонормированном базисеe1,e2,e3.
Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица B
В новом базисе матрица А примет диагональный вид( по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам
x1’=b11x1+b12x2+b13x3
Получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам
Замечание1. С геом. Точки зрения рассмотренные преобразования представляют собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.
Замечание2. Если какие-либо собственные числа матрицы совпадают, то к соответствующим или ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них и построит таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.