31. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Под углом между прямыми понимается угол между их направленными векторами.

cos φ= |a*b|\|a|*|b|

2 пересекающиеся прямые L₁ и L₂ образуют угол и он совпадает с углом между нормалями, а угол между нормалями можно вычислить с помощью скалярного произведения.

Условие параллельности двух прямых

Если две прямые представлены уравнениями

a₁x+b₁y+c₂=0

a₂x+b₂y+c₂=0

то условие их параллельности есть a₁b₂-a₂b₁=0

или в другом обозначении (определитель второго порядка)

Условие перпендикулярности двух прямых

Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b.

n­­­₁ перпендикулярен n₂ следовательно n₁*n₂=0 следовательно a₁a₂+b₁b₂=0

32.Плоскость. Общее уравнение плоскости.

Теорема. Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка в пространстве есть плоскость.

коэффициенты А,В,С  являются координатами нормального вектора плоскости N=Ai+Bj+Ck . Вектор N  перпендикулярен плоскости.

M₀M*n=a*(x-x₀)+b*(y-y₀)+c*(z-z₀) Точка M принадлежит плоскости. Частные случаи.-    Если в уравнении  D=0 , то плоскость проходит через начало координат.

- При A=0  ( B=0 , C=0 ) плоскость параллельна оси ox  (оси oy, оси oz ) соответственно.

-   При A=B=0  ( A=C=0 , B=C=0 )  плоскость параллельна плоскости (x,y)  (плоскости (x,z) , плоскости (y,z) ).

Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0

33.Нормальное уравнение плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

,

где ,,- направляющие косинусы нормали плоскости, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0

приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

34. Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках

Если в общем уравнении плоскости D не равно нулю, то, разделив почленно на это число уравнение плоскости получим уравнение плоскости в отрезках

Векторное уравнение плоскости:

M(x,y,z) Рассмотрим M₀M=r-r₀, так как M₀M*n=0, тогда (r-r₀)*n=0

где — радиус-вектор точки

35. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Пусть М₁, М₂, М₃ не лежат на одной прямой. Тогда существует плоскость, которой принадлежат эти точки. Найдем уравнение этой плоскости

M₁M, M₁M₂, M₁M₃ компланарны. Чтобы векторы были компланарны, их смешанное произведение должно быть равно нулю. Это будет определитель, строками которого являются координаты векторов в ортонормированном базисе.

|x-x₁ y-y₁ z-z₁ |

|x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁| =0

|x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁ |

36. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя плоскостями- это угол между нормалями этих плоскостей и тогда, если плоскости заданы уравнениями

То

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂=0

 Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: n₁||n₂.Это условие выполняется, если: