КОНТРОЛ-САМОСТ задания по математике
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u |
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du |
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2u |
2 |
−1 |
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2u |
2 |
− 2 +1 |
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= 2∫ |
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= 2∫ |
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1+ |
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du |
= 2u + 2∫ |
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du = |
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(1− u |
2 )2 |
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(u2 −1)2 |
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(u |
2 −1)2 |
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du |
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du |
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u −1 |
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du |
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= 2u + 4∫ |
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+ 2∫ |
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= 2u + 2LN |
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+ 2∫ |
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(u |
2 −1)2 |
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(u2 −1)2 |
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u2 −1 |
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u +1 |
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разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби |
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1 |
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= |
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1 |
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= |
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A |
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+ |
B |
+ |
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C |
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(u2 −1)2 |
(u −1)2(u +1)2 |
u −1 |
(u −1)2 |
u +1 |
(u +1)2 |
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для нахождения неизвестных |
A,B,C,D подведем дробь под общий |
знаменатель и приравняем исходный и полученный числители
1= A(u −1)(u +1)2 + B(u +1)2 + C(u +1)(u −1)2 + D(u −1)2 .
Найдем A,B,C,D, используя метод неопределенных коэффициентов,
1= A(u3 + u2 − u −1) + B(u2 + 2u +1) + C(u3 − u2 − u +1) +
+ D(u2 − 2u +1), |
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A+ C = 0, |
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A = − |
1 |
,B = |
1 |
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4 |
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A+ B − C + D = 0, |
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4 |
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, |
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− A+ 2B − C − 2D = 0, |
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1 |
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C = |
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,D = |
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4 |
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4 |
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− A+ B + C + D = 1 |
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интеграл примет вид |
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( |
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)3 |
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x2 − 2 |
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u −1 |
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+ 2∫ |
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du |
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= |
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∫ |
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dx = 2u + 2LN |
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x2 |
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u |
+1 |
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(u2 −1)2 |
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u −1 |
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= 2u + 2LN |
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+ |
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− |
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+ |
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2 + |
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+ |
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2 |
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∫ |
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du = |
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u +1 |
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2 |
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u −1 |
(u −1) |
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u +1 |
(u +1) |
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= 2u + 2LN |
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u −1 |
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− |
1 |
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u −1 |
|
+ |
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1 |
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− LN |
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+1 |
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+ |
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1 |
= |
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LN |
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u |
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u +1 |
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2 |
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u −1 |
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u |
+1 |
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= 2u + |
3 |
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u −1 |
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− |
1 |
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1 |
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+ |
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1 |
= 2u + |
3 |
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u −1 |
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− |
u |
= |
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LN |
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LN |
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u +1 |
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u +1 |
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u2 |
−1 |
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2 |
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2 |
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u |
−1 u +1 |
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вернемся к исходной переменной, |
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x2 − 2 |
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1− |
2 |
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= |
u = |
1− COS2 t = |
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= |
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= |
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x2 |
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x |
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81
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= 2 |
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x2 − 2 |
+ |
3 |
LN |
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x2 − 2 − x |
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+ |
x x2 |
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− 2 |
+ c = |
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||||||||||||||||||||
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x |
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2 |
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x2 − 2 + x |
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2 |
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упростим выражение под логарифмом, |
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( |
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− x)( |
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+ x) |
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= 2 |
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x2 − 2 |
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+ |
3 |
LN |
x2 − 2 |
x2 − 2 |
+ |
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x x |
2 − 2 |
+ c = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
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2 |
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2 |
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2 |
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( x2 − |
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2 + x) |
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x2 − 2 |
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3 |
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+ |
x x2 − 2 |
+ c = |
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− 3LN |
x + |
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= 2 |
+ |
LN |
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− 2 |
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x2 − 2 |
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x |
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2 |
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2 |
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|||
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(4 + x2 ) x2 − 2 |
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− 3LN |
x + x2 − 2 |
+ c. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2x |
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( |
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)3 |
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x2 |
− 2 |
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(4 + x2 ) x2 − 2 |
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Ответ: ∫ |
dx = |
− 3LN |
x + |
x2 − 2 |
+ c. |
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x |
2 |
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2x |
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6.1. Контрольная работа № 3 |
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ВАРИАНТ 1 |
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4x −11 |
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∫ |
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2 + arctgx |
dx |
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∫ |
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dx |
∫ |
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dx |
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2x2 +10x +13 |
COS 2x + SIN 2x −1 |
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1+ x2 |
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∫ |
2x + SIN x |
dx |
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4x +1 |
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∫ |
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2x − x2 − 2dx |
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2 |
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x − COS x |
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∫ |
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dx |
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(x − 2)(x − 3) |
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∫(1− 2x)COS xdx |
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∫SIN2 xCOS3 xdx |
∫ex SIN 4xdx |
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ВАРИАНТ 2 |
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∫ |
LN2(2x +1) |
dx |
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∫ |
2x − COS x |
dx |
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(x2 − SIN x)2 |
∫e2x SIN |
x |
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2x +1 |
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dx |
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4 |
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∫(1− x)COS 2xdx
82
5x +17
∫ (x −1)(x − 2) dx
∫COS2 xSIN3 xdx
ВАРИАНТ 3
∫SIN2 xdx COS x
∫(x + 3)COS xdx
∫ex SIN xdx
ВАРИАНТ 4
dx
∫ (2x +1)LN2(2x +1)
∫ |
2tgx + SIN x |
dx |
|
|
|
||
|
COS2 x |
||
∫ |
1+ x |
||
2 |
COS 2xdx |
||
|
|
ВАРИАНТ 5
dx
∫ COS x + 4SIN x −1
∫ x2 + 2x + 2dx
dx
∫ 5COS x + SIN x + 3
2x − SIN x
∫ x2 + COS xdx
∫ x2 − 4x + 8dx
∫ex SIN x dx
4
11x + 7
∫ (x +1)(x − 2) dx
7x −11
∫ x2 + 4x + 8 dx
7x −11
∫ 2x2 −10x +13 dx
4x −11
∫ x2 − 4x + 5 dx
4x +1
∫ (x − 2)(x2 + 2) dx
2
∫ (1+ x2)2 + arctgx dx
dx
∫ COS x + 3SIN x + 5
∫ x2 − 2x − 3dx
COS3 x
∫ SIN2 xdx
83
∫ |
(2 + arctgx)3 |
dx |
||
|
1+ x2 |
|
||
|
|
|
||
∫ |
ex + SIN x |
dx |
|
|
ex |
− COS x |
|
||
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|
∫(1− 2x)LN xdx
∫ex COS3xdx
ВАРИАНТ 6
|
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2 |
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∫ |
LN3 |
(5x +1) |
dx |
|
|
5x +1 |
|||
|
|
ctgx + SIN x
∫ SIN2 x dx
∫(1− 4x)LN xdx
ВАРИАНТ 7
2SIN x
∫ 2 + COS x dx
∫ LN x − LN xdx
x
∫(2x + 3)COSπxdx
∫ex SIN xdx
4x +1
∫ (x2 + 2)(x − 3) dx
4x −15
∫ x2 − 2x + 5 dx
∫ex COS πx dx
4
5x +17
∫ (x − 3)(x + 5) dx
7x − 9
∫ x2 − 2x +10 dx
4x +1
∫ (x − 2)(x + 2) dx
4x −11
∫ x2 + 2x +10 dx
dx
∫ COS 2x − SIN 2x −1
∫ 2x + 2 − x2dx
COS3 x
∫ SIN3 xdx
dx
∫ COS x + 4SIN x − 7
∫ x2 + 2x +12dx
COS2 x
∫ SIN2 xdx
dx
∫ 5COS x + 2SIN x + 3
∫ x2 − 4xdx
∫ COS2 xdx
SIN x
84
ВАРИАНТ 8
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
(x +1)LN2(x +1) |
|||
∫ |
2tgx + SIN 2x |
dx |
|
|
|
||
|
COS2 x |
||
∫ |
1+ x |
||
2 |
SIN 2xdx |
||
|
|
ВАРИАНТ 9
2 + tgx
∫ COS2 x dx
2LN x + xLN x
∫ x2 dx
∫(1+ 2x)COS 2xdx
∫e−x SIN xdx
ВАРИАНТ 10
e2x
∫ e2x +1dx
2x − 1
∫x dx
(x2 − LN x)2
∫(1− x)COS xdx
∫ex SIN πx dx
2
11x + 7
∫ (x +1)(x − 3) dx
7x −11
∫ x2 + 2x +17 dx
4x +1
∫ x3 − 2x2 dx
4x −11
∫ x2 + 2x +17 dx
∫e2x SIN xdx
5x + 7
∫ (x −1)(x2 + 4) dx
7x −11
∫ x2 + 2x +17 dx
dx
∫ COS 2x + 3SIN 2x + 3
∫ x2 − 2xdx
SIN2 x
∫ COS2 xdx
dx
∫COS 2x + SIN 2x − 9
∫x2 − 6xdx
COS5 x
∫SIN2 xdx
dx
∫ COS x − 4SIN x − 2
∫ x2 + 2x − 8dx
∫ 2x +1(x +1)dx
85
ВАРИАНТ 11
∫2 + ARCSIN x dx
1− x2
∫ex−SIN x(1− COS x)dx
∫(x2 + 3)COS xdx
ВАРИАНТ 12
dx
∫ (2x +1)LN4(2x +1)
∫ |
|
tgx |
+ SIN x |
dx |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
COS2 x |
||||
∫ |
1+ x |
|||||
3 |
|
COS 2xdx |
||||
|
|
|
|
|||
ВАРИАНТ 13 |
||||||
∫ |
(2 − 3arctgx)3 dx |
|||||
|
|
1+ x2 |
||||
∫ |
|
e3x |
||||
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|||
e2x − 4 |
86
∫ex SIN xdx
4x +1
∫ (x − 2)(x − 4) dx
4x −1
∫ x2 − 2x + 9 dx
∫ex SIN xdx
9x + 7
∫ (x + 3)(x − 2) dx
7x −11
∫ x2 + 2x +16 dx
∫ xLN(3x +1)dx
∫e−x COS3xdx
4x +1
∫ (x − 6)(x − 3) dx
dx
∫ 2COS x + SIN x + 3
∫ x2 − 8xdx
∫ COS3 xdx
SIN x
dx
∫ COS x + 2SIN x + 5
∫ 16x − x2dx
∫ |
x + x |
x +1 dx |
4x −15
∫ x2 − 2x + 9 dx
dx
∫ COS 2x − SIN 2x − 3
∫ |
5 − 4x − x |
2 |
dx |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex +1 |
ВАРИАНТ 14
etgx + 4
∫ COS2 x dx
1+ SIN 2x
∫ x + SIN2 xdx
∫(1− 4x)LN(x +1)dx
ВАРИАНТ 15
∫ |
eSIN x COS x |
dx |
||
COS 2π |
|
|||
|
LN2 x − |
|
|
|
∫ |
LN x |
dx |
||
x |
|
|
||
|
|
|
|
∫(2x2 + 3)3 xdx
ВАРИАНТ 16
1
ex+1dx
∫(x +1)2
∫SIN4 2xdx
∫e−x COS 2xdx
3x + 7
∫ (x − 3)(x +1) dx
7x − 9
∫ x2 − 4x +13 dx
∫ex SIN xdx
x +1
∫ (x − 2)(x + 7) dx
4x −11
∫ x2 + 6x +12 dx
∫ex COS xdx
2tgx +1
∫ COS2 x dx
dx
∫ 4SIN x − 7
∫ x2 − 3xdx
∫COS3 xSIN3 xdx
dx
∫ 5COS x + 3
∫ − x2 − 4x − 3dx
∫ ex + 2dx
∫1+3 x SIN 2xdx
11x + 7
∫ x2(x − 3) dx
87
6x −11
∫ x2 + 2x + 26 dx
ВАРИАНТ 17
1+ 2tgx
∫ COS2 x dx
2x + ex
∫ x2 + ex dx
∫(1+ 2x)COS 2xdx
∫e4x SIN 4xdx
ВАРИАНТ 18
∫ |
LN2(3x +1) + 3x |
dx |
|||
|
3x +1 |
||||
|
|
|
|||
∫ |
2x − COS x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
x2 − SIN x |
|
|||
∫ |
(1− x)COS(2x + π )dx |
||||
|
|
|
|
|
3 |
ВАРИАНТ 19
dx
∫ COS x + 3SIN x
4x +1
∫ x(x − 3) dx
4x + 9
∫ x2 + 4x +13 dx
dx
∫ 5 − COS 2x + SIN 2x
∫e2x SIN xdx
5x +17
∫ (x2 −1)(x − 2) dx
7x −1
∫ 4x2 − 4x + 5 dx
∫− x2 − 4x −1dx
∫4x − 4x2 + 3dx
∫ |
ex −1 |
|
|
dx |
|
ex +1 |
dx
∫ 9 + COS x + 4SIN x
∫ − x2 + 2x + 3dx
∫COS5 xSIN3 xdx
88
∫ |
arctg(x −1) |
||||
|
|
|
|
dx |
|
x2 − 2x + 2 |
|||||
|
LN x − x |
|
|
dx |
|
∫ |
x |
||||
|
|
|
|||
|
x2 |
∫xCOS(x2 + π )dx
4
∫e−2x SIN xdx
ВАРИАНТ 20
LN(x +1)dx
∫ (x +1)2
2 1+ tgx + SIN x
∫ COS2 x dx
∫πx COS(x2 + π )dx
2 2
ВАРИАНТ 21
∫ (2 + ARCSIN x)3 dx
1− x2
∫xex2 +1dx
x2 +1
∫xLN(x +1)dx
4x +1
∫ (x − 2)(x + 2)2 dx
x −11
∫ 4x2 − 4x +17 dx
∫ex SIN 3xdx
11x + 7
∫ (x +1)2(x − 2) dx
7x
∫ 4x2 − 4x +17 dx
∫ex COS x dx
2
x+1
∫x2(x − 3) dx
4x −15
∫ x2 − 2x + 26 dx
dx
∫ 7 − 5COS x + SIN x
∫ x − x2dx
∫ SIN3 xdx
COS x
dx
∫ 7 + 3COS x − SIN x
∫ x2 − 8xdx
∫ COS3 xdx
SIN x
dx
∫ 9 − 7COS 2x + 4SIN 2x
∫ 10 + 6x + 9x2dx
89
dx
∫ COS3 xSIN2 x
ВАРИАНТ 22
∫ LN(ex +1) exdx
ex +1
COS x + SIN x
∫ SIN2 x dx
∫(2x + 3)LN xdx
∫e−x SIN πx dx
4
ВАРИАНТ 23
|
|
2SIN x |
|
dx |
∫ |
|
|
||
|
||||
2 + COS2 x |
∫ LN x − xdx
x
∫2xSINπxdx
∫ex COS 4xdx
ВАРИАНТ 24
dx
∫ (x +1)1+ LN2(x +1)
5x
∫(x2 −1)(x + 5) dx
x − 9
∫9x2 − 6x +10 dx
4x + 5
∫ x2(x + 2) dx
2x
∫16x2 − 8x +17 dx
SIN xetgx
∫ COS3 x dx
∫ xSIN 2xdx
dx
∫ 3COS x + 4SIN x − 2
∫ − x2 +12xdx
dx
∫ COS xSIN2 x
dx
∫5COS x + 3
∫8 + 2x − x2dx
dx
∫ SIN xCOS3 x
∫ex COS xdx
x + 7
∫ (x +1)2(x − 3) dx
90