Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КОНТРОЛ-САМОСТ задания по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

821.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

x = tLNt

ex + x tg3(x3 + x)

y(x) = SIN

= t

y(x) = (arctg(x +1))x2 +4x−1

f (x) = ex(x −1)

ВАРИАНТ 9

y2x2 = ex

y(x) =

COS3x

x = 2LN 2t

SIN

2 3x + COS2 x

y = 2t + t2

y(x) = (tg(2x2 + x))LN(4x−1)

f (x) = LN

(x −1)2

x +1

ВАРИАНТ 10

yx +

x + y2 =

x − y

4x −1

LN(x3/2 − x x) LN

{x = tet , y = tet − t2}

y(x) =

x2 + x + 5

tg3x

(4−x)/4

(x) =

y(x) = COS x2 − SIN

− x

ВАРИАНТ 11

2x + (x − y)3/5 − y = 1

COS(2x +1) SIN

= t

+ t

y(x) =

= t

3x2 − 4x +11

2x+1

y(x) = (x4e2−x +1)x2 −1

f (x) =

x +1

ВАРИАНТ 12

y2x − x2 y + COS y = SIN x

y(x) =

etgx+x + eCOS x

x = COS3t + 3t

(x3/4 + 4x + x2 ) LN x

y = SIN3t − 3t

y(x) = (LN(7x + 5) + e2x )3/(x+3)

f (x) =

x −1

LN(x −1)

ВАРИАНТ 13

yx2 − xy2 + COS y =1

LNt + t

+COS

x =

y(x) = tg4 x3 + 4x ex

+ t

y = t

y(x) = (COS 4x + SIN x)x2

f (x) =

x −1

ВАРИАНТ 14

yCOS x − y2 SIN y =1

LN COS(3x +1)

x = ARCSINt

y(x) =

(x2 + ex)2

y = 1

− t2

y(x) = (arctgx)COS 2x

f (x) =

2 +1

ВАРИАНТ 15		3		y	= COS(x2 y)

				x
1 y(x) = 2tgx SIN2 (x − x3 ) LN tg	x		x = 2(t − COSt)
		4

2			y = 2(1− SIN t)

2	y(x) = (ARCSIN 2x)	(2x2	+4x)	5		f (x) =		x


							x	2 −1



ВАРИАНТ 16				3	x + y − eyarctgx = 0

	3		3x				3	−		2x			2	(2x +			1)			5				x = 3(t − SIN t)
	3						3						2							5
1	y(x) =																				4
1	y(x) =	(x −1)3/ 2 (x +1)4 /3																			4
		(x −1)3/ 2 (x +1)4 /3																						y = 3(1− COSt)
2	y(x) = (LN(x2 + x))1/COS2 x																				5			f (x) =	ex
2	y(x) = (LN(x2 + x))1/COS2 x																				5			f (x) =	x −1
																									x −1

ВАРИАНТ 17																							3	xLN y =				1
ВАРИАНТ 17																							3	xLN y =				xy
																												xy

											e	x
	y(x) = tg				2						e							3COS2x						{x = SIN 2t, y = COS					2	t}
1																2							4
									2		+
									2
						x									x

2	y(x) = (ARCSIN(2x −1))SIN(2x2 +4x)																						5	f (x) =			x2 +1
2	y(x) = (ARCSIN(2x −1))SIN(2x2 +4x)																						5	f (x) =			x −1
																											x −1

ВАРИАНТ 18																			3			xy + y2 − (ex − y)2 =1
													2											x = ARCCOSt
									x+x				2											x = ARCCOSt
							e		x+x
1	y(x) =						e												4


										+ SIN 4x
				COS x						+ SIN 4x														y = 1− t		2
2	y(x) = (LN(x3 + 2x)2/SIN x																		5					f (x) = x2 LN x

ВАРИАНТ 19						3			x3 + y3 − 3(x + y) = x
			5												t	+ t	2
			5												t		2
	y(x) =	ARCSIN ( x +1 + x)										x = e
1		ARCSIN ( x +1 + x)				4
1		LN x + COS(2x −1)				4								3
												y = t		3		+ t

2	y(x) = (x + tg				)x2	5					f (x) = x2 − 8LN x
2	y(x) = (x + tg			x	)x2	5					f (x) = x2 − 8LN x

ВАРИАНТ 20										3		xy + x2 y2 − xSIN y = 0
													x = tCOSt
	y(x) = (LN x + ex ) tg4( x2 +												x = tCOSt
1	y(x) = (LN x + ex ) tg4( x2 +						x	)		4
													y = t + SIN t
2	y(x) = (x3 + SIN 2x)(x2 +COS 2x)									5			f (x) = e2x(x2 − 2)

ВАРИАНТ 21									3				yex+1 + xey − 4 = 0

x = 2(t − COSt)

LN COS(x2 +

) ex+SIN x

y(x) =

y = 2(1− SIN t)

y(x) = (SIN

2x + COS 2x)

2x2

f (x) =

ex(x +1)

ВАРИАНТ 22

+ x2 y − y2x = 0

= COS

y(x) = LNSIN

x +1

ARCSIN

= SIN t + t

y(x) =

− x

+ 3x)

f (x) =

− 2

ex2

ВАРИАНТ 23

y2 COS x = SIN(x − 2y)

y(x) =

+ 2) SIN

x = COS

LN(x

y = 2SIN

f (x) = x

− 3LN x

y(x) = LN

x3 + x

ВАРИАНТ 24

(ex −1)(ey + y) − 2 = 0

= t

+ t

y(x) = SIN(e

+ x)

SIN(x

+ 3x)

y =

+ t

f (x) = LN(x2 + 4)

y(x) = (LN(x2 + x +1))

x+1

ВАРИАНТ 25

ex SIN y − e− y COS x = 0

y(x) =

arctg

(3x)

x = tgt

LN(x2 − x + 4)

y = COS2 t

y(x) = (COS2 x + 2x +

)1/ x

f (x) =

1− x

ВАРИАНТ 26

x = xy + arctgy

= 2(COSt + tSINt)

y(x) = e

x − 4x COS

= 2(SINt − tCOSt)

y(x) = (COS2 x + SIN 2x)(x−COS x)

f (x) = x − LN(x +1)

ВАРИАНТ 27

SIN(x − y) − COS xy = 0

y(x) =

( x +1 − x)

{x = 6t2 − 4, y = t5}

LN(x2 − x + 4)

y(x) = (LN 2x +

)2COS2x

f (x) =

LN x

ВАРИАНТ 28

SIN2(3x + y2) + y =10

x = ARCSINt

y(x) = tg7 (3x + 2)

COS2 x +1

y = LNt

y(x) = (LN COS x)1/ x

f (x) = x3e−x

ВАРИАНТ 29

ex(x + y) − e− yx =1

x = t2

y(x) =

x−2

+ x

LN(x

2 − x)

y =

− t

y(x) = (SIN2 3x −1)tgx

f (x) =

x2 −1

ВАРИАНТ 30

SIN y + COS yx = 2

4COS

y(x) = LN(2x +1) COS x + x2 tg

y =

4SIN

y(x) =

1/ x

f (x) = (x −1)2ex

COS3x

SIN x

6. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ

Табличные интегралы и внесение под знак дифференциала.

Чтобы научиться интегрировать, необходимо знать таблицу первообразных и внесения под знак дифференциала, а именно быстро выполнять задания

πx

d(x2 + c),

вида

SIN

dx = −

d COS

, xdx =

= d(LNt).

Пример 17. Найти первообразную ∫

xLN(x)

Решение.

= d(LN x),

∫

= ∫

= LN

+ c = LN

+ c.

можно обозначить

LN x

xLN x

LN x

LN x = u

Замену переменной можно не делать.

Пример 18. Найти первообразную ∫tg2xdx

∫tg2xdx = ∫

SIN 2xdx

= −

∫

d(COS2x)

= −

COS2x

+ c –

COS2x

− COS

«SIN 2xdx = d

– есть дифференциал функции «минус косинус»,

аргумент прежний, разделить на коэффициент при x, вносим под дифференциал, получаем табличный интеграл вида натуральный логарифм».

Ответ: ∫tg2xdx = − 1LN COS2x + c.

Пример 19. Найти первообразную ∫

LN(3x

1)dx

Решение. Применим формулу интегрирования по частям

LN(3x

1)dx

u = LN(3x +1)

du =

3dx

∫

3x +1

= 2

LN(3x +1)− 6∫

dv =

v = 2

3x +1

получившийся интеграл вычислим, пользуясь заменой переменных,

= t

6∫

dx =

x = t2

3x +1

dx = 2tdt

= 4∫dt −

∫

2t2dt

3t2

+1−

= 6∫

=4∫

dt =

3t2 +1

2 +1

=4t −

arctg(

t)= 4

−

arctg(

Использовали прием «плюс-минус единицу в числителе», чтобы разбить интеграл на два. Вынесли множитель в знаменателе для выделения табличного интеграла. Вернемся к исходному заданию:

LN(3x +

1)dx

= 2

LN(3x +1) − 4

arctg(

)+ c – это ответ.

∫

4x −1

Пример 20. Найти первообразную ∫3x2 + 9x +10dx.

Решение. Прежде всего вычислим дискриминант трехчлена в знаменателе

D = 92 − 4 3 10 < 0. Это означает, что знаменатель нельзя разложить на простые множители. Такие задания разрешаются, если использовать приём выделения полного квадрата, а именно:

				2											2							10							3 2		10			3 2
3x					+ 9x +10 = 3 x											+ 3x +								=			3 x +			+			−		=
3x					+ 9x +10 = 3 x											+ 3x +								=			3 x +			+			−		=
																						3							2			3		2

									3	2	13
=		3 x +								+			, подставим в интеграл
=		3 x +							2	+	12		, подставим в интеграл
									2		12

∫						4x −1					dx =				1	∫			4x −1									dx = (сделаем замену переменной),
∫	3x2 + 9x +10										dx =				3	∫				3			2			13		dx = (сделаем замену переменной),
	3x2 + 9x +10														3					3			2			13
																	x		+				+
																	x		+		2		+			12
																					2					12
			x +				3	= t,dx = dt										1		4t − 7
							3

=						2										=			∫								dt = (разобьем на два интеграла),
=												3				=			∫								dt = (разобьем на два интеграла),
												3		−1		3						2	+		13
			4x −1= 4 t −																	t
																									12
												2
												2

=		1	∫			4t				dt −					7		∫					dt						= – (в первом использовать внесение под знак
=		3	∫					13		dt −							∫							13				= – (в первом использовать внесение под знак
		3		t	2	+		13					3					t	2			+		13

								12																12
								12																12
дифференциала, тем самым получится «табличный интеграл вида
натуральный логарифм», второй – табличный «вида арктангенс»),

=		2	LN		t	2	+		13		−		7			12						arctg						t	12		= (вернемся к исходной переменной),

		3							12				3			13													13
		3							12				3			13													13
																										arctg				(2x + 3)
=		2	LN		x2 + 3x +									10			−			14										(2x + 3)							3			+ c.
																	−
		3
		3											3									39										13
Ответ:
				4x −1																																						(2x + 3)
				4x −1																	2						2					10				14						(2x + 3)	3
∫												dx ==											LN		x		2		+ 3x +							−					arctg			+ c.
	3x2 + 9x +10
	3x2 + 9x +10																				3												3					39				13
Пример 21. Найти первообразную ∫																																			dx				.


																																		e2x +1

Решение. Необходимо использовать замену:

e2x +1= t , тогда

e2x +1= t2 ,

e2x 2dx = 2tdt , отсюда видно, что удобно сначала умножить числитель и

знаменатель подынтегральной функции на e2x :

e2xdx

e2x + 1 = t

∫

= ∫

2x + 1= t2

= ∫

tdt

2 −

2x e2x + 1

2x + 1 e

2xdx = tdt

1)t

=1LN t −1 = 1LN e2x +1−1 + c. 2 t +1 2 e2x +1+1

Ответ: ∫

e2x +1−1

+ c.

e2x +1

e2x +1+1

Часто трудности вызывает нахождение первообразных тригонометрических функции. Упорядочим некоторые случаи.

∫	dx	Использовать универсальную

	aSIN x + bCOS x + c

COS2 x

тригонометрическую подстановку tg

= t

∫

Замена tgx = t

aSIN2 x + bCOS2 x + c

∫SIN

xCOS

xdx

1) есть нечетная степень → внести множитель

под знак дифференциала,

2) k,m – оба четные → удвоить аргумент,

3) k,m – оба нечетные → tgx = t

1) k нечетное → внести SIN x под знак

∫

SIN x

дифференциала,

COS

2) m – нечетное → домножить до четной

или

степени и внести под дифференциал,

3) k + m – четное → tgx = t

∫

COS x

SIN

∫

1) k + m – нечетное → домножить до четной

степени и внести под дифференциал,

SINk xCOSm x

2) k + m – четное → tgx = t

Пример 22. Найти первообразную ∫

COS3x

Для решения необходимо домножить подынтегральную дробь на COS3x

∫

COS3xdx

∫

d(SIN3x)

= −

∫

d(SIN3x)

= −

SIN3x −1

+ c.

SIN2 3x −1

SIN3x +1

COS3x

COS2 3x 3

1− SIN2 3x

Пример 23. Найти первообразную ∫ SIN3 xdx .

Решение. ∫

SIN3 xdx

= ∫

SIN2 x(SIN xdx)

= − ∫

SIN2 xd(COS x)

COS2 x

COS x = t

= −∫

1− t2dt

=∫dt − ∫

= t +

= COS x +

+ c.

COS x

SIN

3 xdx

Ответ: ∫

= COS x +

+ c.

COS2 x

COS x

Пример 24. Найти первообразную ∫

(

4x − x2 −1

Решение. Преобразуем подкоренное выражение

4x − x2 −1= −(x2 − 4x +1) = −((x − 2)2 +1− 4)= 3 − (x − 2)2 .

замена

∫

= ∫

x − 2 = u

= ∫

= –

( 4x − x

−1)

dx = du

( 3 − u

)

3 − (x − 2)

используем тригонометрическую подстановку,

u =

3SINt

du =

COStdt

= ∫

3COStdt

= ∫

tgt = – вернемся к

(

COSt)3

3COS2 t

3 − u2 =

3COSt

исходной переменной

tgt =

SINt

x − 2

COSt

1− SIN

1−

3 − u

4x − x

−1

x − 2

+ c.

3 4x − x2 −1

Ответ: ∫

x − 2

+ c.

(

4x − x2 −1

(

Пример 25. Найти первообразную ∫

2 − 2

dx.

Решение. Используем тригонометрическую подстановку

x =

(

COSt

− 2

SIN t

dx =

x2 − 2 =

− 2 =

∫

COS2 t

COSt

dx =

2SIN tdt

COS2 t

4 t

SIN t

2SIN tdt

SIN

= ∫

= 2∫

COS2 t

COS3 t

COSt

домножить числитель

= 2∫

SIN4 t

COStdt =

SIN t = u

COS4 t

и знаменатель на COSt

COStdt = du

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.201616.64 Mб1767Конструкция Вагонов.pdf
#
11.12.2015186.37 Кб33Консьюмеризм защита прав потребителей.doc
#
16.03.2016352.58 Кб52конт работа.pdf методы оптимальных решений.pdf
#
16.03.2016157.21 Кб8Контр.работа социально-эк направления развития.pdf
#
16.03.2016120.09 Кб10Контр.работа № 1.pdf
#
13.04.2015821.96 Кб28КОНТРОЛ-САМОСТ задания по математике.pdf
#
11.12.2015375.3 Кб52Контроль калибра-скобы.doc
#
16.03.201642.74 Кб22контрольная .docx
#
13.04.201521.11 Кб43Контрольная работа НОРМЫ.doc
#
11.12.201550.08 Кб16Контрольная.docx
#
07.07.201923.79 Кб5Конфликтология (лекции).docx