1.7. Функция

Отношения эффективно применяются для описания связей между парами элементов, выбранных из двух множеств и. Функции – частный случай бинарных отношений, на которые наложены дополнительные ограничения.

Рассмотрим два произвольных множества и, элементы которых будем обозначать,.

Определение 1. поставим каждому элементу в соответствие один и только один элементпо определенному правилу. Тем самым зададимотображение множества в множество. Обозначение:.

Часто вместо термина «отображение» используют термин «функция».

Пусть – функция из множествав множество. Поскольку для каждогосуществует единственным образом определенный, такой, что, то будем писатьи говорить, что функцияотображает множествов множество_{. При этом элементы} называютсяобразом при отображении, а совокупность элементовназываетсяпрообразом элемента и обозначается.

Множество принято называтьобластью определения функции. Обозначение: . Множество–областью значений функции . Обозначение:.

Способы задания функций:

1. аналитический (одной или совокупностью формул);

2. табличный;

3. описательный;

4. графический.

Определение 2. Графиком функции является изображение в декартовой системе координат множества точек, где, а, т. е. изображение декартова произведения области определения функции и области ее значений.

Например, график функции , заданный формулой, изображен на рис. 11.

Рис. 11

Множество определения – ось – множество действительных чисел, множество значений – ось– множество неотрицательных действительных чисел.

График функции состоит из точек прямого произведения, для которых.

Пример 1. Найдите область определения функции .

Решение

Функция содержит корень четной степени, следовательно, она определена только в случае неотрицательного подкоренного выражения, т. е. , откуда;.

Пример 2. Найдите прообраз множества при отображении.

Решение

.

Подставим , получим;, получим.

Прообразом отображения (в силу непрерывности функции) являются те , которые попадают в отрезок , тогда.

Пример 3. Отображение действует по правилу

. Найдите образ .

Решение

Отрезок можно представить как объединение двух множеств:. Отрезокотображается аналитическим выражением, поэтому. Полуинтервалотображается аналитическим выражением, поэтому. Окончательно образ имеет следующий вид.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Дайте определения образа, прообраза функции.

2. Найдите прообраз множества при отображении.

3. Отображение действует по правилу

. Найдите образ .

4. Найдите области определения следующих функций:

а) ; б).

2. Элементы математической логики

2.1. Математическая логика как наука

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384–322 гг. до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной, или аристотелевой, логикой. Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Сочинение Аристотеля «Аналитики» долгое время рассматривали как труд, завершающий развитие этой науки. Исследования математики выявили недостаточность аристотелевой логики и потребовали дальнейшего ее развития.

Логика – это наука о рассуждениях, которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения, исходя из совокупности первичных предположений, называемых аксиомами.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646–1716) в конце XVII в. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам.

Первая реализация идеи Г. Лейбница принадлежит английскому ученому Дж. Булю (1815–1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначались высказывания, что привело к появлению алгебры высказываний. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – математической логики. Джордж Буль развил алгебраический подход к логике и сформулировал правила логических вычислений. В труде «Исследование законов мышления» он использовал алгебраическую символику для логических операций. Так, операция отрицания переменной вычислялась как разность, дизъюнкция (логическое сложение) переменныхи– как выражениеи т. д.

Современное обозначение логических операций, сходных с обозначениями теоретико-множественных операций, ввел русский математик П.С. Порецкий (1846–1907).

К концу XIX столетия актуальное значение для математики приобрели вопросы обоснования ее понятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики. В этом отношении показательны работы немецкого математика Г. Пеано (1858–1925), который применил математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.

Математическая (формальная) логика делится на три подраздела: логику Буля, логику высказываний и логику предикатов.

Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления, например исчисление высказываний, исчисление предикатов. Основным предметом алгебры логики являются высказывания и логические операции над ними. Суть формального рассуждения – одна из основных тем формальной логики, широко применяемая при изучении математических доказательств.

Математическая логика играет большую роль в математике, так как при систематическом изложении математики возникает проблема выбора исходных понятий и правил, которые представляют базис всего изложения.