5. Индивидуальные задания

Перед выполнением индивидуальных заданий необходимо изучить теоретический материал каждого раздела настоящего учебного пособия.

Для успешного решения заданий необходимо выучить следующие разделы:

• с 1-го по 6-е задание – разд. 1 «Элементы теории множеств»:

1-е задание – подразд. 1.1 «Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств», 1.2 «Операции над множествами»;

2-е задание – подразд. 1.3 «Диаграммы Эйлера – Венна»;

3-е задание – подразд. 1.4 «Свойства операций над множествами»;

4-е задание – подразд. 1.5 «Декартовы произведения множеств»;

5-е задание – подразд. 1.6 «Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений»;

6-е задание – подразд. 1.7 «Функции»;

• с 7-го по 12-е задание – разд. 2 «Элементы математической логики»:

7–10-е задания – подразд. 2.2 «Высказывания. Логические операции и их основные свойства»;

11-е задание – подразд. 2.3 «Способы решения логических задач»;

12-е задание – подразд. 2.4 «Булевы функции. Свойства элементарных булевых функций», 2.5 «Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы булевых функций», 2.6 «Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы»;

• с 13-го по 14-е задание – разд. 3 «Элементы теории графов»:

13-е задание – подразд. 3.1 «Основные понятия теории графов»;

14-е задание – подразд. 3.2 «Способы задания графов», 3.3 «Связность графов»;

• 15-е задание – разд. 4 «Элементы комбинаторики»: подразд. 4.1 «Перестановки, размещения и их количество», 4.2 «Сочетания и их свойства».

Вариант 1

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английс­кий,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

17	11	6	5	4	3	2	1	?

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Я сдам этот экзамен только в том случае, если буду регулярно выполнять домашние задания».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Для полярной экспедиции из 8 претендентов ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) надо отобрать 6 специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять и, гидролога –и, синоптика –и, радиста –и, механика –и, врача –и. Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции каждый сможет выполнять только одну обязанность.

Кого и кем следует взять в экспедицию, если не может ехать без,бези без,не может ехать одновременно с,не может ехать вместе с?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершини ребер.

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Автомобильные номера состоят из трех букв (используются только те буквы латинского алфавита, написание которых совпадает с буквами русского алфавита) и трех цифр (используются все 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?

Вариант 2

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английс­кий,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

16	?	9	7	4	4	5	2	3

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Регулярное выполнение домашних заданий является необходимым условием для того, что я сдам этот экзамен».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Три одноклассника – Влад, Тимур и Юра – встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего – регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра – единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто, чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершини ребер.

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть пять занятий: по алгебре, геометрии, истории, географии, литературе, причем алгебра и геометрия не должны следовать непосредственно друг за другом?

Вариант 3

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Вен­на.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка. человек знают английс­кий,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

17	8	10	?	6	4	4	3	5

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений иустановите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ .

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Сдача этого экзамена является достаточным условием того, что я регулярно выполнял домашние задания».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Известно следующее: если Петя не видел Колю на улице, то Коля либо ходил в кино, либо Петя сказал правду; если Коля не ходил в кино, то Петя не видел Колю на улице, и Коля сказал правду. Если Коля сказал правду, то либо он ходил в кино, либо Петя солгал.

Выясните, ходил ли Коля в кино.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. На книжной полке требуется расположить 10 различных книг по математике, 12 различных книг по физике и 15 различных книг по информатике. Сколькими способами это можно сделать, если:

1) не существует никаких ограничений;

2) все книги по одному и тому же предмету должны стоять рядом?

Вариант 4

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаг­рамм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка. человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

20	11	8	5	7	3	4	?	7

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Я сдам этот экзамен в том и только в том случае, если я буду регулярно выполнять домашние задания».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. В поездке пятеро друзей – Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша – знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение: Дима сказал: «Моя фамилия – Мишин, а фамилия Бориса – Хохлов». Антон сказал: «Мишин – это моя фамилия, а фамилия Вадима – Белкин». Борис сказал: «Фамилия Вадима – Тихонов, а моя фамилия – Мишин». Вадим сказал: «Моя фамилия – Белкин, а фамилия Гриши – Чехов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона – Тихонов».

Какую фамилию носит каждый из друзей?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершини ребер.

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Энциклопедия состоит из 8 томов с 1-го по 8-й. Сколькими способами ее можно поставить на полке в беспорядке (чтобы тома не следовали друг за другом)?

Вариант 5

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаг­рамм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английс­кий,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.зна­ют все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

?	10	7	4	5	4	3	3	5

4. Дано декартово произведение множеств А×D = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3)}. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений иустановите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ .

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Регулярное выполнение домашних заданий есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы я сдал этот экзамен».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу .

11. Три девочки – Роза, Маргарита и Анюта – представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов.

Какие цветы вырастила каждая из девочек?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершини ребер.

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Из пункта в пунктможно доехать либо автобусом (4 рейса), либо самолетом (2 рейса). Сколько всего способов добраться до пункта?

Вариант 6

1. Для заданных множеств ,,, найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английс­­кий, – немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

17	12	9	7	8	?	5	4	3

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений иустановите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Если Ира поедет в Москву, то будет покупать билеты предварительно».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу .

11. Пятеро одноклассников – Ира, Тимофей, Катя, Эльдар и Захар – стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что:

• победитель олимпиады по информатике учит Иру и Тимофея работе на компьютере;

• Катя и Эльдар тоже заинтересовались информатикой;

• Тимофей всегда побаивался физики;

• Катя, Тимофей и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

• Тимофей и Катя поздравили победителя олимпиады по математике;

• Ира сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова комби­наторика, и таких, в которых никакие две гласные буквы не стоят рядом?

Вариант 7

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаг­рамм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

21	11	?	6	6	5	3	2	5

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений иустановите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу.Найдите образ .

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Неверно, что ветер дует тогда и только тогда, когда идет дождь».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и плотник. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов. Профессии и фамилии названы в произвольном порядке. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, и он самый младший из друзей. Семенов женат на сестре Борисова, он старше токаря.

Назовите фамилии слесаря, токаря и плотника.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех дней выбрать по 6 участников, так, чтобы каждый день были различные составы хора?

Вариант 8

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера –Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

26	14	11	5	?	4	3	2	6

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Будет ли Петров поступать в институт или нет, зависит от того, закончит ли он школу».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Пришедший специалист по обслуживанию сказал, что, скорее всего, с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершини ребер.

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами можно группу из 20 человек разбить на две подгруппы по 10 человек?

Вариант 9

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , , , .

2. Докажите тождество с помощью диаг­рамм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

19	13	9	5	5	3	3	1	?

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Аня любит мандарины и неверно, что она любит яблоки и груши».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Ира любит мороженое с фруктами. В кафе был выбор из таких вариан­тов:

• пломбир с орехами;

• пломбир с бананами;

• пломбир с черникой;

• шоколадное с черникой;

• шоколадное с клубникой.

В четырёх вариантах Ире не нравились или тип мороженого, или наполнитель, а в одном варианте ей не нравились ни мороженое, ни наполнитель. Она попросила приготовить из имеющихся продуктов порцию по своему вкусу.

Какое же мороженое и с какими фруктами любит Ира?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершини ребер.

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова интеграл?

Вариант 10

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера –Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

17	?	9	6	6	4	4	2	2

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества А и D.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. При составлении расписания на пятницу были высказаны пожелания, чтобы информатика была первым или вторым уроком, физика – первым или третьим, история – вторым или третьим.

Можно ли удовлетворить одновременно все высказанные пожелания?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершини ребер.

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько существует трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, и таких, чтобы в каждое число входила цифра 1 при условии, что каждую цифру в числе можно использовать не более одного раза?

Вариант 11

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

16	12	9	?	6	4	3	3	1

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу .

11. В соревнованиях по плаванию участвовали Андрей, Виктор, Саша и Дима. Их друзья высказали предположения о возможных победителях:

• первым будет Саша, Виктор будет вторым;

• вторым будет Саша, Дима будет третьим;

• Андрей будет вторым, Дима будет четвёртым.

По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях занял каждый из юношей, если все они заняли разные места.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9, чтобы каждая употреблялась не более одного раза?

Вариант 12

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаг­рамм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

17	13	6	4	6	3	2	?	3

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

Вариант 13

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера –Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

?	14	9	7	7	5	3	2	1

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Если для солнечной погоды необходимо отсутствие дождя, то для того, чтобы пошел дождь, достаточно, чтобы погода была пасмурной и безветренной».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Семья, состоящая из отца , материи трех дочерей,,, купила телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:

• когда отец смотрит передачу, то матьделает то же;

• дочери и, обе или одна из них, смотрят передачу;

• из двух членов семьи – мать и дочь– смотрят передачу одна и только одна;

• дочери иили обе смотрят, или обе не смотрят;

• если дочь смотрит передачу, то отеци дочьделают то же;

Кто из членов семьи в этот вечер смотрел передачу?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Семь девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг?

Вариант 14

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

18	15	8	6	7	?	4	3	2

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений иустановите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Необходимо иметь шлем, чтобы играть в американский футбол».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. В процессе составления расписания уроков учителя высказали свои пожелания. Учитель русского языка хочет проводить первый или второй урок, учитель математики – первый или третий, а учитель физкультуры – второй или третий урок.

Сколько существует возможных вариантов расписания и каковы они?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в каждой команде, если в каждой команде должен быть хотя бы один юноша?

Вариант 15

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

20	12	?	8	5	5	3	1	4

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции .

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Для меня сдать этот курс достаточно, чтобы получить диплом».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Для какого имени истинно высказывание «первая буква имени гласная четвертая буква имени согласная»: 1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может подняться в гору и потом спуститься с нее при условии, что подъем и спуск должен происходить по разным тропинкам?

Вариант 16

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера –Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

23	14	8	7	?	4	4	2	5

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Если розы не красные, то фиалки не синие».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу .

11. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях:

• один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй;

• другой болельщик предположил, что второе место займет Люда, а Рита – четвертое место;

• третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами можно расставить на полке 12 различных книг?

Вариант 17

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.– знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

23	15	8	9	3	4	5	2	?

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Розы красные или фиалки не синие».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. В первом туре школьного конкурса «Эрудит» в четверку лучших вошли: Дима, Катя, Миша и Нина. И, конечно, болельщики высказывали свои предположения о распределении мест во втором, финальном, туре. Один считал, что первым будет Дима, а Миша будет вторым. Другой болельщик выразил надежду на то, что Катя займет четвертое место, а второе место достанется Нине. Третий же был уверен в том, что Катя займет третье место, а на втором месте будет Дима. В результате оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какие места заняли Дима, Катя, Миша, Нина?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, чтобы каждая цифра употреблялась не более одного раза?

Вариант 18

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера –Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

?	14	7	8	4	5	4	3	1

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Найдите прообраз множества при отображении.

6. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Либо розы красные, либо фиалки синие» (но не одновременно).

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу .

11. Алеша, Витя и Игорь после уроков нашли на полу в кабинете физики маленькую гирьку. Каждый из них, рассматривая находку, высказал два предположения. Алеша сказал: «Это гирька из латуни, и весит она, скорее всего, 5 г», Витя предположил, что гирька сделана из меди и весит 3 г. Игорь же считал, что гирька не из латуни и вес ее – 4 г. Учитель физики обрадовался, что пропажа нашлась, и сказал ребятам, что каждый из них прав только наполовину.

Из какого металла – латуни (Л) или меди (М) – изготовлена гирька, и каков ее вес?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами можно расположить в ряд 5 белых и 4 черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом?

Вариант 19

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

20	?	9	6	4	3	2	1	2

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Сергей пойдет гулять, если пойдут гулять Никита и Тимофей, или все трое останутся дома».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Четыре друга – Антонов (), Вехов (), Сомов (), Деев () – решили провести каникулы в четырех различных городах – Москве, Одессе, Киеве и Ташкенте. Определите, в какой город должен поехать каждый из них, если имеются следующие ограничения:

• если не едет в Москву, тоне едет в Одессу;

• если не едет ни в Москву, ни в Ташкент, тоедет в Москву;

• если не едет в Ташкент, тоедет в Киев;

• если не едет в Москву, тоне едет в Москву;

• если не едет в Одессу, тоне едет в Москву;

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько вариантов существует в лотерее: а) 5 из 36; б) 6 из 49?

Вариант 20

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: ,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера –Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

25	11	14	10	6	4	?	2	3

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Неверно, что является истинным высказыванием».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Борис, Виктор, Андрей и Федор. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: дантист, слесарь, плотник и токарь, но неизвестно, кто какой, и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

• Фёдор не дантист;

• Дантист живёт через дом от слесаря;

• Борис живёт рядом с плотником;

• Токарь живет левее дантиста;

• Виктор живет справа от дантиста;

• Токарь живет не рядом со слесарем;

• Андрей живет рядом с токарем;

• Плотник живет правее дантиста.

Выясните, кто какой профессии и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей в порядке слева направо.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова комбинаторика?

Вариант 21

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

27	17	13	?	9	6	5	4	4

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Неверно, что если красный мячик меньше синего, а синий меньше зеленого, то зеленый мячик меньше красного».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Пять школьников из пяти различных городов Брянской области прибыли для участия в областной олимпиаде по математике. На вопрос: «Откуда вы?» каждый дал ответ:

• Иванов: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев – из Новозыбкова»;

• Сидоров: «Я приехал из Клинцов, а Петров – из Трубчевска»;

• Петров: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев – из Дятькова»;

• Дмитриев: «Я приехал из Новозыбкова, а Ефимов – из Жуковки»;

• Ефимов: «Я приехал из Жуковки, а Иванов живет в Дятькове».

Откуда приехал каждый из школьников, если одно из утверждений верно, а другое ложно?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько существует способов распределения трех первых мест, если в соревновании участвует восемь команд?

Вариант 22

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

30	18	14	9	9	5	4	?	4

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Я пойду на рыбалку независимо от того, какая будет погода: солнечная или пасмурная».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Три молодые мамы Анна, Ирина и Ольга, гуляя в парке со своими малышами, встретили свою четвертую подругу. На вопрос, как зовут малышей, желая подшутить над подружкой, они ответили: Анна: «Моего малыша зовут Денис, а Кирилл – сын Ирины». Ирина: «Моего сыночка зовут Максим, а Кирилл – сын Анны». Ольга: «Мой мальчик – Кирилл, а сына Анны зовут Максим». Каждая из них один раз сказала правду и один раз солгала. Как зовут мальчиков Анны, Ирины и Ольги?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Вариант 23

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств:,,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

26	15	13	11	8	?	5	3	2

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу.Найдите образ .

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Если в треугольнике любая его медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник неравнобедренный и неравносторонний».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:

• если первый сдал, то и второй сдал;

• если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;

• если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;

• если четвертый сдал, то и первый сдал.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графа, какой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза?

Вариант 24

1. Для заданных множеств ,,, найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

28	17	?	10	11	5	7	4	4

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Неверно, что ни Вера, ни Ира не балерины».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Кто из друзей (Иван, Петр, Алексей, Николай или Борис) коллекционирует марки, если известно, что:

• если Борис коллекционирует марки, то их коллекционируют Иван и Николай;

• если их коллекционирует Иван, то Петр тоже коллекционирует марки;

• из двух друзей (Петр и Алексей) коллекционирует марки только один;

• Алексей лишь в том случае коллекционирует марки, если их коллекционирует Николай;

• по крайней мере, Николай или Борис коллекционирует марки.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами пятеро юношей могут выбрать себе партнершу для танца из восьми девушек?

Вариант 25

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

30	19	16	12	?	8	7	5	3

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ .

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Ира занимается спортом, и неверно, что она не играет на флейте».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Кто из абитуриентов ,,ииграет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее: еслиилииграет, тоне играет; еслине играет, то играюти;– играет.

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди них были карты каждой масти?

Вариант 26

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

35	20	16	15	10	8	9	6	?

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Неверно, что если красный мячик больше синего, а синий меньше зеленого, то зеленый мячик больше красного».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Костя пригласил свою сестру приехать к нему в гости. После этого он получил от нее три сообщения: я приеду в гости, если только со мной приедет папа; чтобы я приехала, необходимо, чтобы меня сопровождала мама; либо приедем мы с мамой, либо приедет только папа. Когда приехали гости, оказалось, что из этих трех сообщений истинным было только одно. Кто приехал навестить Костю?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами из натуральных чисел от 1 до 30 можно выбрать три различных числа так, чтобы их сумма была четной?

Вариант 27

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

?	20	17	13	8	5	4	1	5

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений иустановите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ .

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Если Саша выше Жени и Женя ниже Андрея, то или Саша выше Андрея или Андрей выше Саши».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Есть пять коробочек: белая, черная, красная, синяя и зеленая. И десять шариков тех же цветов, что и коробочки, по два каждого цвета. В каждой коробочке лежат по два шарика. При этом:

• ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;

• в красной коробочке нет синих шариков;

• в коробочке нейтрального цвета (белый или черный) лежат один красный и один зеленый шарик;

• в черной коробочке лежат шарики холодных тонов (зеленые и синие тона);

• в одной из коробочек лежат один белый и один синий шарик;

• в синей коробочке находится один черный шарик.

Какого цвета шарики лежат в какой коробочке?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколькими способами из натуральных чисел от 1 до 20 можно выбрать два различных числа так, чтобы их сумма была четной?

Вариант 28

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаг­рамм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

39	?	17	13	8	5	6	2	4

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений иустановите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Света пойдет кататься на велосипеде тогда и только тогда, когда пойдет с ней сестра и когда на улице не будет лить дождь».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу .

11. После опроса пассажиров четырех маршрутов трамвая: 55-го, 15-го, 25-го и 33-го, среди которых были Андрей, Павел, Вилмош и Лайош, оказавшиеся каждый из них представителем одной из четырех профессий: слесарь, электромонтер, маляр и фрезеровщик, выяснилось что:

• номер трамвайного маршрута, которым следует Вилмош, начинается не с единицы;

• о 33 маршруте рассказывал кто-то из рабочих-металлистов;

• номер трамвайного маршрута, которым следовал фрезеровщик, составлен из таких цифр, что их сумма равна числу букв в имени фрезеровщика;

• Лайош рассказывал о трамвайном маршруте, номер которого состоит из двух одинаковых цифр;

• имя электромонтера начинается не с буквы В;

• Павел спросил у опрашивающего, где лучше сойти, чтобы пересесть на двадцать пятый маршрут;

• в памяти опрашивающего вдруг отчетливо всплыла фраза, сказанная Лайошем кому-то из пассажиров: «Вы сели не на тот трамвай, вам нужно пересесть на пятьдесят пятый».

Определите имя и профессию каждого пассажира, номер маршрута, о котором он рассказал?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько диагоналей в выпуклом 100-угольнике?

Вариант 29

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

37	22	16	?	8	5	4	3	2

4. Даны множества и. Найдите.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Отображение действует по правилу. Найдите образ.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Митя, Сережа, Толя, Костя и Юра пришли в музей до открытия и встали в очередь в кассу. Митя пришел позже Сережи, Толя раньше Кости, Митя раньше Толи, Юра позже Кости.

В каком порядке ребята стояли в очереди?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Из пункта в пунктведут 3 дороги, изв– 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку извчерез?

Вариант 30

1. Для заданных множеств ,,,найдите мощность следующих множеств: , ,,.

2. Докажите тождество с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3. На одной из кафедр университета работают человек, среди которыхчеловек не знают ни одного иностранного языка.человек знают английский,– немецкий,– французский.знают английский и немецкий,– английский и французский,– немецкий и французский.знают все три языка. По заданным в таблице условиям восстановите недостающую информацию.

33	19	18	11	9	?	7	2	3

4. Дано декартово произведение множеств

. Выпишите множества и.

5. Для отношения найдите множество определения, множество значений и установите, какими свойствами оно обладает.

6. Найдите прообраз множества при отображении.

7. Постройте таблицу истинности для булевой функции

.

8. Запишите следующее высказывание в символической форме, обозначив за переменные элементарные высказывания, и укажите соответствующую таблицу истинности.

«Этот четырехугольник не может быть ни прямоугольником, ни ромбом, ни параллелограммом, так как две его противоположные стороны не являются параллельными друг другу».

9. Определите вид логической формулы (тавтология, противоречие или выполнимая) :

а) с помощью таблицы истинности;

б) с помощью равносильных преобразований.

10. Используя законы логики, упростите формулу

.

11. Пытаясь вспомнить победителей прошлогоднего турнира, пять бывших зрителей турнира заявили:

• Антон был вторым, а Борис – пятым;

• Виктор был вторым, а Денис – третьим;

• Григорий был первым, а Борис – третьим;

• Антон был третьим, а Евгений – шестым;

• Виктор был третьим, а Евгений – четвертым.

Впоследствии выяснилось, что каждый зритель ошибся в одном из двух своих высказываний.

Каково было истинное распределение мест в турнире?

12. Для логической формулы постройте СДНФ и СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

13. Нарисуйте граф с множеством вершин

и ребер .

14. Даны графы и. Выпишите для каждого графа множества вершин и ребер. Определите степень каждой вершины. Найдите матрицы смежности и инцидентности. Укажите для графакакой-либо маршрут из вершины 1. Укажите для графаподграфы.

15. Сколько пятизначных целых чисел начинаются с 4 и заканчиваются на 2 или содержат цифру 8?