1.5. Декартово произведение множеств

Пусть даны два произвольных непустых множества и, элементы которых мы будем обозначать,.

Определение. Прямым произведением (или декартовым произведением) двух непустых множеств называется множество упорядоченных пар, где,. Упорядоченность пары означает, что если мы будет рассматривать декартово произведение, то соответствующая пара будет иметь вид, где,.

В частности, декартово произведение множества действительных чисел на себя представляет собой множество всевозможных упорядоченных пар действительных чисел.

Пример 1. Даны множества и. Найдите множестваи,и соответствующие мощности.

Решение

;

.

Найдем мощность: .

.

.

Найдем мощность: .

Пример 2. Даны множества ,,.Найдите число элементов декартова произведения множеств и укажите эти элементы.

Решение

Найдем пересечение множеств , содержащее общие элементы обоих множеств:. Так как множествосодержит четыре элемента, а множество– два элемента, то количество соответствующих пар декартова произведения будет. Перечислим всевозможные пары:,,,,,,,.

Пример 3. Даны множества и. Найдите и изобразите на координатной плоскости.

Решение

В соответствии с определением декартова произведения – множество точек, расположенных в квадрате с вершинами,,и (рис. 10).

Понятие декартова произведения можно обобщить на случай множеств. Если– произвольные непустые множества, то их декартово произведениесостоит из всевозможных упорядоченных наборов, где,, …,.

Рис. 10

Замечание. Если – конечные множества, то

_.

Декартово произведение множеств само является множеством, и поэтому к нему применимы все изученные ранее способы задания и операции.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Пусть и. Найдите множества,,и соответствующие мощности.

3. Декартово произведение имеет вид

. Тогда чему равны множества и ?

1.6. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений

Определение 1. Бинарным отношением на множествахиназывается любое подмножество декартова произведения множестви:. При этом множествоназываютобластью определения отношения , а множество–областью значений.

Если элементы имножествинаходятся в отношении, то пишут, или. Если, тоназывается бинарным отношением на.

Например:

а) если , тогда записьозначает, что и в качестве обозначения этого отношения можно взять сам символ «≤». Множество определения и множество значений совпадают с множеством натуральных чисел;

б) если – множество товаров в магазине, а– множество целых положительных чисел из некоторого диапазона, то – отношение множеств и. Множество определения – товары в магазине, а множество значений – действительные числа, каждое из которых совпадает с ценой некоторого товара;

c) если – множество действительных чисел, тоесть бинарное отношение – точки плоскости, лежащие внутри или на границе круга радиуса 2 с центром в начале координат. Множество определения и множество значений .

Свойства бинарных отношений

1. Бинарное отношение на множестверефлексивное, если для всякого выполняется.

2. Бинарное отношение на множествеантирефлексивное, если для любых и, для которых выполнено, следует, что.

3. Бинарное отношение на множествесимметричное, если из выполнения следует, что, т. е. из принадлежности отношению парыследует принадлежность этому отношению также пары.

4. Бинарное отношение на множествеантисимметричное, если из выполнения и следует, что .

5. Бинарное отношение на множестветранзитивное, если из выполнения иследует выполнение.

Определение 2. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множественазываетсяотношением эквивалентности.

Определение 3. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множественазываетсяотношением нестрогого порядка.

Определение 4. Антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множественазываетсяотношением строгого порядка.

Пример. Проверьте, какими свойствами обладает отношение

(т.е. кратно трем).

Решение:

а) рефлексивность: для инеобходимо показать, что.

Действительно, отношение рефлексивно;

б) симметричность: для инеобходимо показать, что.

Обозначим , подставим:

отношение симметрично;

в) транзитивность: для и,необходимо показать, что.

Обозначим , и, подставим:

отношение транзитивно.

Так как отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Какие отношения называют отношением эквивалентности, отношением нестрогого порядка, отношением строгого порядка?

2. Найдите область определения и множество значений отношений:

а) ;

б) .

3. Даны множества и. Найдите количество пар, удовлетворяющих бинарному отношению.