- •Метод наименьших квадратов
- •Удк 517.518.87 (075.8) ббк в 191.1я73
- •Введение.
- •1. Постановка задачи о приближении функции.
- •2. Интерполирование функциий.
- •3. Пример построения интерполяционного полинома.
- •4. Метод наименьших квадратов.
- •5. Нахождение неизвестных параметров в случае задания эмпирической формулы в виде многочлена или показательной функции.
- •6. Примеры построения различных видов аппроксимирующих функций.
- •7. Индивидуальные задания для лабораторной работы. Задания на лабораторную работу.
- •Теоретические вопросы.
- •Варианты заданий.
- •Список литературы.
- •Содержание.
5. Нахождение неизвестных параметров в случае задания эмпирической формулы в виде многочлена или показательной функции.
Пусть в качестве аппроксимирующей функции выбран многочлен степени :
Тогда сумма квадратов отклонений примет вид:
,
а неизвестные параметры будут определяться системой уравнений:
Если приближающая функция выбрана в виде показательной функции, то выражение можно светсти к линейному, логарифмируя левую и правую части равенства:
или .
После введения обозначений: ,;, функциязаписывается как линейная по аргументу:
Сумма отклонений определяется формулой:
,
а коэффициенты инаходятся из решения системы:
после чего осуществляется обратный переход к параметрам и.
Аналогично можно поступать и в тех случаях, когда в качестве аппроксимирующей функции выбраны, например, гипербола или логарифмическая функция.
6. Примеры построения различных видов аппроксимирующих функций.
Пусть функция задана таблицей 3.1. Требуется построить методом наименьших квадратов функцию, приближающую табличную наилучшим образом. Для удобства обозначений изменим нумерацию исходных данных и будем считать, что ;;;;;;;;. Сделаем предположение относительно характера аппроксимирующуей функции, рассмотрев расположение точек, заданных таблицей, на графике (рис. 1.).
По характеру расположения точек на графике можно выдвинуть предположение о линейной квадратичной или показательной зависимости величин. Рассмотрим все три предположения.
Случай 1. Будем искать приближающую функциюв виде линейной функции.
Сумма мер отклонений , где;- число измерений. Найдём неизвестные коэффициенты из системы:
После преобразования система принимает вид:
…(1)
Составим вспомогательную таблицу
Таблица 6.1.
| ||||
|
0 |
10 |
0 |
0 |
|
25 |
9,1 |
625 |
227,5 |
|
50 |
8,7 |
2500 |
435 |
|
75 |
5,6 |
5625 |
420 |
|
100 |
2,5 |
10000 |
250 |
250 |
35,9 |
18750 |
1332,5 |
Подставив данные из таблицы 6.1 в систему (1), получим:
откуда , а уравнение линейной функции
.
Случай 2. Аппроксимирующая функция – квадратичная.
Сумма мер отклонений . Неизвестные коэффициенты будут найдены из системы:
,
преобразовав которую, получим:
…(2)
Составим вспомогательную таблицу.
Таблица 6.2
| |||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0 |
0 |
|
25 |
625 |
15625 |
390625 |
9,1 |
227,5 |
5687,5 |
|
50 |
2500 |
125000 |
6250000 |
8,7 |
435 |
21750 |
|
75 |
5625 |
421875 |
31640625 |
5,6 |
420 |
31500 |
|
100 |
10000 |
1000000 |
100000000 |
2,5 |
250 |
25000 |
250 |
18750 |
1562500 |
138281250 |
35,9 |
1332,5 |
83937,5 |
Подставим данные из таблицы 6.2 в систему (2):
и, решив её, получим значения параметров:
Уравнение квадратичной зависимости:
Случай 3. Найдем приближающую функцию в виде показательного выражения. После логарифмирования показательной функции
и введения обозначений ;;, функциязаписывается как линейная.
Построим таблицу соответствия известных значений:
Таблица 6.3
| |||||
|
0 |
10 |
2,30 |
0 |
0 |
|
25 |
9,1 |
2,20 |
625 |
55 |
|
50 |
8,7 |
2,16 |
2500 |
108 |
|
75 |
5,6 |
1,72 |
5625 |
129 |
|
100 |
2,5 |
0,92 |
10000 |
92 |
250 |
35,9 |
9,3 |
18750 |
384 |
Запишем систему:
Подставим данные из таблицы 6.3 в систему (3):
и получим в результате:
Возвращаясь к показательной функции, запишем:
; ;.
Значения линейной функции: ;
Квадратичной функции:
Показательной функции:
и их отклонения от табличных значений функции в заданных точках сведём в таблицу 6.4
Таблица 6.4
0 |
25 |
50 |
75 |
100 | |
10 |
9,1 |
8,7 |
5,6 |
2,5 | |
0,88 |
-0,07 |
-1,52 |
-0,27 |
0,98 | |
-0,13 |
0,44 |
-0,51 |
0,24 |
-0,03 | |
2,28 |
-0,22 |
-2,28 |
-0,95 |
0,86 |
На основании таблицы 6.4 вычисляется сумма квадратов отклонений аппроксимации для каждого из трёх рассмотренных видов приближения:
Следовательно, для заданной табличной функции наиболее целесообразна квадратичная аппроксимация.
По полученным результатам строятся графики.