Министерство путей сообщения Российской Федерации

_____________________________________

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра: «Высшая математика»

Л.В. Марченко

Метод наименьших квадратов

Методические указания

по выполнению лабораторной работы

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2002

УДК 517.518.87 (075.8)

ББК В 191.1я73

М 300

Рецензент:

Кандидат физ.-мат. Наук, доцент кафедры

“Высшая математика” ДВГУПС

Г.П. Кузнецова

Марченко Л.В.

М 300 Метод наименьших квадратов: Методические указания по выполнению лабораторной работы. – Хабаровск: ДВГУПС, 2002. – 23 с.

Методические указания соответствуют государственному образовательному стандарту дисциплины «Высшая математика».

В данной работе излагаются методы нахождения функций для приближённого описания зависимостей переменных, полученных опытным путём. Рассмотрены правила построения интерполяционного многочлена методами Лагранжа и Ньютона, нахождение аналитических зависимостей в виде показательной и степенной функций методом наименьших квадратов, даны индивидуальные задания к выполнению лабораторной работы.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих математику.

Удк 517.518.87 (075.8) ббк в 191.1я73

© Издательство Дальневосточного государственного

университета путей сообщения (ДВГУПС), 2002

Введение.

Метод наименьших квадратов – один из наиболее часто используемых методов при обработке наблюдений, построении и анализе физических, биологических, технических, экономических и социальных моделей. Задача выбора функции для приближённого описания зависимостей одних показателей от других на основе имеющегося набора данных о значениях этих показателей – одна из областей приложения метода наименьших квадратов.

Настоящие методические указания предназначены помочь студенту ознакомиться с методом наименьших квадратов при решении задач аппроксимации на основе данных наблюдения. Задание на лабораторную работу включает составление интерполяционного многочлена, а так же построение приближённой функции в виде полинома и показательной функции методом наименьших квадратов.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих математику.

1. Постановка задачи о приближении функции.

Будем называть обобщённым полиномом функцию вида:

,

где - постоянные коэффициенты,- конечно,

- заданные на некотором множестве дифференцируемые функции.

Чаще всего рассматриваются:

1) алгебраические полиномы (многочлены), для которых

,

.

2) тригонометрические полиномы

3) показательные функции.

Задача о приближении функции ставится следующим образом: данную функцию требуется заменить полиномомпорядкатак, чтобы отклонение функцииот полиномана заданном множестве было наименьшим. Полиномназывается аппроксимирующим.

Если значения функции заданы только в отдельных точках (табличное задание функции), то приближение называется точечным. Если же функциязадана на отрезке, то приближение называется интегральным.

2. Интерполирование функциий.

Пусть функция задана таблицей, полученной в результате наблюдений.

Таблица 2.1

				…
				…

Требуется найти алгебраический полином

возможно низшей степени так, чтобы значение полинома в заданных точка совпадает со значениями функциив этих точках, то есть

,

Такой полином называется интерполяционным. Если, то существует единственный полином, полученный из решения системы

Определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда, отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение.

Полином, коэффициенты которого получены решением указанной системы, называется интерполяционным полиномом Лагранжа, определяемым формулой:

Если , то интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в виде интерполяционного многочлена Ньютона:

,

где

Выражения называются конечными разностями-го порядка.

Интерполяционный многочлен Ньютона тождественно совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Точки называют узлами интерполяции. Полученные полиномы позволяют приближённо восстановить значение функциив произвольных точках между узлами интерполяции. Если точкарасположена вне отрезка, содержащего все узлы интерполяции, то замена функцииполиномом называется задачей экстраполяции.

У интерполяционного многочлена Лагранжа видна его явная зависимость от каждого значения , поэтому при изменении количества узлов интерполяции (уменьшении или увеличении) приходится строить многочлен заново.

Интерполяционный многочлен Ньютона выражается не через значения функции, а через её конечные разности, поэтому при изменении степени nтребуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых.