3. Пример построения интерполяционного полинома.

При испытаниях на железнодорожном пути под воздействием гармонической нагрузки производилась регистрация величин прогибов рельсов под точкой приложения нагрузки и на различные расстояния от точки приложения нагрузки. В результате исследования были получены следующие значения -амплитуд прогибов рельсов в зависимости от– расстояний от точки приложения нагрузки.

Таблица 3.1

(см)	0	25	50	75	100
(мм)	10	9,1	8,7	5,6	2,5

Требуется построить интерполяционный многочлен, значения которого совпадали бы с табличными значениями в узлах интерполяции.

Воспользуемся формулой Лагранжа. Из таблицы известно, что , поэтому формула Лагранжа в данном случае имеет вид:

Подставляем данные таблицы и получаем следующее выражение:

В результате вычислений получаем:

Построим интерполяционный многочлен по тем же данным, используя формулу Ньютона:

,

где

Составим таблицу конечных разностей.

Таблица 3.2

0	10	-0,9	0,5	-3,2	5,9
25	9,1	-0,4	-2,7	2,7
50	8,7	-3,1	0
75	5,6	-3,1
100	2,5

Запишем интерполяционный полином Ньютона:

,

и в результате вычислений получим:

Полиномы, полученные методами Лагранжа и Ньютона, совпадают.

В результирующей формуле видно, что коэффициенты при и довольно малы и, возможно, что достаточно было бы для приближения функции взять многочлен второй степени. Но построение интерполяционного многочлена не позволяет найти “достаточно хороший” полином второй степени. Поэтому можно воспользоваться другими методами подбора “близкой” к данным таблицы функции.

4. Метод наименьших квадратов.

Пусть функция задана таблицей 2.1 и, по-прежнему, требуется построить функцию, приближающую табличную на заданном промежутке наилучшим образом.

Кроме построения интерполяционного многочлена существуют и другие способы, один из которых без подробного пояснения, может быть указан. Это метод интерполяционных или сглаживающих сплайнов. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке задания функции, а на каждом частном отрезке является некоторым алгебраическим многочленом. Чаще всего используются кубические сплайны, принимающие в узлах значения .

Сплайны являются более удобным средством аппроксимации функций на больших промежутках (при больших n), чем интерполяционный многочлен. Аппроксимация функции на большом промежутке одним многочленом может значительно увеличить степень многочлена, что на практике неприемлемо.

Ранее указанные методы применяют не всегда, так как при построении интерполяционного полинома возможна численная неустойчивость (то есть промежуточные значения могут существенно отличаться от точек кривой). К тому же значения могут быть заданы с погрешностями, возможными при получении опытных данных.

Для построения сплайна требуется большой объём вычислительной работы, результатом которой является функция, имеющая разный вид на разных участках, что не всегда удобно на практике.

Принципиально иной подход метода наименьших квадратов состоит в том, чтобы подобрать функцию , отклонение которой от опытных данных было бы минимальным среди всех функций данного вида. При этом возможно точечное аппроксимирование функции на отрезке, если исходные данные записаны в таблицу, и интегральное аппроксимирование функции на отрезке, если требуется приблизить заданную аналитическим выражением функцию некоторым многочленом.

Мерой отклонения аппроксимирующей функции от опытных данныхявляется величина, а мерой общей ошибкиSявляется сумма мер отклонений для всех опытов, то есть

.

Квадраты отклонений рассматривают для того, чтобы избежать взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины и разных знаков.

Метод определения констант, входящих в формулу путём минимизации функцииSназывается методом наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов нацелен на уменьшение самых больших отклонений. Формула, служащая для аналитического представления опытных данных, называется эмпирической.

Вид функции установлен или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих табличному значению функции. Если вид эмпирической формулы выбран, то возникает задача определения параметров, входящих в эту формулу, то есть

, где - неизвестные постоянные. Количество этих констант выбирается обычно меньше числа точек в таблице.

Наилучшими значениями параметров будут те, для которых сумма мер отклонений принимает наименьшее значение.

Если рассматриваются Sкак функция от, то очевидно, чтои наименьшее значение этой функции существует. Это возможно только в точке минимума функцииS. Используя необходимые условия экстремума, получаем систему уравнений для определения параметров.

Если система имеет единственное решение, то оно будет искомым.

В качестве приближающей функции в инженерных и экономических расчётах часто используется многочлен:

Если , то аппроксимирующий полином совпадает с полиномом Лагранжа ( при этом).

Если зависимость близка к периодической, то аппроксимация может быть задана тригонометрическим многочленом.

Если эмпирическая формула выбрана в виде показательной функции , в виде степенной, или в виде логарифмической, то искомыми являются только два параметра.

Формула, полученная методом наименьших квадратов, называется уравнением регрессии, а соответствующая кривая – линией регрессии. Если в результате вычислений получено уравнение прямой линии, то регрессия называется линейной, в противном случае – нелинейной.

Исходные данные могут носить самый разнообразный характер и относиться к различным отраслям науки или техники, например:

1) зависимость продолжительности службы электрических ламп от поданного на них напряжения;

2) зависимость пробивного напряжения конденсаторов от температуры окружающей среды;

3) зависимость предела прочности стали от содержания углерода;

4) зависимость показателей безработицы и инфляции;

5) зависимость цен товара от спросана этот товар;

6) зависимость частного потребления от располагаемого дохода;

и другие зависимости.