Лекция № 14 Разложение апериодических случайных процессов.

Исходные сведения в виде корреляции.

Как определить свойства? Особенность: - случайный процесс апериодический. Что бы получить дополнительные сведения о свойствах случайного процесса ,по аналогии с предшествующим событием – воспользуемся частным описанием рассматриваемого процесса (будем разлагать по квазигармоническим функциям).

Гармонический сигнал:

- случайная величина с известной дисперсией.

- известное число. В предыдущем разделе период, на котором была определена функция корреляции определяет из такого выражения:

T (фиксированная)

T<

(a)

Если положить , чему соответствует соответствующий рассматриваемый случай. При Т, нельзя говорить что в данном процессе есть фиксированный набор гармонических составляющих, число таких составляющихк.

S при Т

w w w

Рассмотрим при (фиксировано)- эффективная дисперсия в интервале частот отна интервале сосредоточена единичная мощность. Как определить центральную плотность, если

Под понимают эффективную дисперсию, которая находится на конкретном участке. В качестве эффективной дисперсии можно выбрать значение в точки, по формуле- спектральная плотность дисперсии.

Подставим вместо значениеполучение

Функция корреляция симметрична можно записать.

Если , топревращается в переменную. Функция корреляция не меняется

Справедливо, когда Т конечно. Этот интеграл и определяет функцию S(w) - функция частоты зависит, в какой области частот выбран интеграл.

Функция S(w) - называют функцией спектральной плотности случайного процесса. Она характеризует инженерный смысл. Его можно определить если перейти от выражения к интегральному выражению

Смысл преобразования – это сумма всех дисперсий

Дисперсия суммы случайной величины будет равна сумме дисперсий, чтоб найти дисперсию нужно вместо суммы взять интеграл.

1)Между спектральной плотностью случайного процесса существует интегральное преобразование

Процесс должен быть апериодическим и стационарным в широком смысле. Дисперсия постоянна.

2)Физический смысл дисперсии случайного процесса можно интерпретировать как мощность этого процесса. Физическая интерпретация спектральной плотности есть средняя мощность случайного процесса, выделяемая на единичном интеграле частот в окрестности точки w на сопротивлении величиной 1Ом.

Центральная площадь определяется графиком.

S(w)

W

Спектральная плотность случайного процесса.

Речь идет в стационарном периодическом случайном процессе.

Нельзя говорить, что случайный процесс состоит из гармоник, любой частоты. По виду графика S(w) можно распределять область гармонических составляющих. Спектральная плоскость ограничена.

Спектральная плоскость ограничена.

S(w)

Fw

F

Ширина спектра – это свойство случайного процесса, по которому определяется и предъявляется требования техническим устройствам, которое в взаимодействует с данным случайным процессом.

Поскольку чаще всего сталкиваемся с техническими устройствами.

Спектральная плотность – это интегральная характеристика, которая интересует пользователя. Для экспериментального определения спектральной плотности реальных случайных процессов применяются специальные приборы – спектрографы. Возникает вопрос: ”Как получить временное описание случайного процесса”. Временное описание означает, что нужно определить функцию корреляции и для этого используется предельный переход от дискретного к непрерывному. Для дискретного нужно разложить .

Делаем предельный переход.

Если известна функция корреляции, то можно найти спектральную функцию.

Вводится величина . Величина этого интеграла называетсяабсолютным интервалом корреляции.

Эта величина характеризует отрезок времени, разделяющий два некоррелированных сечения. Часто используют нормированный коэффициент корреляции.

0. Интервал корреляции может иметь знак. Используя такие интервальные характеристики как плотность спектра и интервал корреляции, получаем соотношение неопределенности:- приведенная ширина спектра сигнала. Она определяется из следующих соображений: строится график

S(w)

S w

Получим эквивалентную ширину спектра.

Можно доказать, что эффективная ширина спектра на нормированный коэффициент корреляции не меньше, чем , называютинтервал неопределенности, им пользуются при квантовании случайного процесса. Так же используется для определения необходимого периода квантования во времени для решения задачи дискретизации случайного процесса. должно быть не меньше, найденное из соотношения. Если спектр дискретен, то можно найти интервал корреляции.

Случайные процессы с независимыми приращениями.

Среди множества случайных процессов выделяется класс случайных процессов, которые называются классом случайных процессов с независимыми приращениями.

Обладает следующими свойствами:

Зафиксируем значение случайного процесса в точках

Будем иметь систему сечений. Зафиксируем приращение .

Разность между случайными процессами есть случайная величина. Если будем считать, что разности есть независимые величины, то это и есть случайные процессы с независимыми приращениями. Эти случайные процессы обладают общими свойствами.

1) Если возьмем две точки T и S и определим функцию корреляции случайного процесса, то эта функция есть дисперсия сечения с минимальным номером.

Пусть S будет T, то k(t,s)=D(t).

2)Если нужно найти математическое ожидание в точке равной сумме точек

То же самое для дисперсии

Гауссовские случайны процессы

Задаются совместной плотностью распределения.

Матрица корреляции случайной величины:

i, j – коэффициенты матрицы. В этом случае каждое сечение есть нормально распределенная случайная величина.

Примеры случайной величины.

Пример случайной величины с независимыми приращениями. Случайные блуждания (Броумингское изображение).

Схема описывается так:

z=0 z z=a z

На границе изображены экраны. Они выражают условие. Существуют упругие и поглощающие , ели явление попадает в экран, там и остается. Выбирается точка и строится временное развитее процесса. Вводится механизм изменения во времени, происходит он единичными шагами. Случайным образом, двигаясь, частица может попасть либо в левый, либо в правый поглощающий экран.

- вероятность того, что в конце своего движения частица попадает в поглощающий экран.