Лекция № 10

Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим частный случай, когда система состоит из 2-х случайных величин x,y.

Смысл корреляционного момента:

1. исходя из определения корреляционного момента, отметим, что число определяется видом плотности распределения f(x,y) и значениями центрированных случайных величин, т.е. мерой разброса. Рассмотрим влияние 1-ого фактора- если между случайными величинами отсутствует стохастическая зависимость, то совместная плотность записывается следующим образом:

f(x, y)=f(x)f(y)

Если подставить вместо ,, то получим:

K(x, y)= (2)

Вспомним основные приемы интегрирования, можно записать как произведение интегралов.

Второй интеграл равен 0. Если случайные величины, входящие в систему , независимы f(x,y)=f(x)-f(y), то корреляционный момент равен 0.

Обратное утверждение не всегда справедливо, если случайный момент равен 0, то не обязательно, что случайные величины независимы, то говорят, то говорят, что такие величины не коррелированны. Различают независимые и коррелированные случайные величины. На величину корреляционного момента оказывается влияние, если случайные величины зависимы

Это нарушает роль корреляционного момента, можно исключить это влияние, поэтому нужно использовать корреляционный коэффициент корреляции.

r(x,y)=.(3)

Влияние разброса.

Нормированный корреляционный момент, определенный (3) , называют коэффициентом корреляции.

Положим (у заменилиx ) и обратимся к формуле (2), получим дисперсию случайной величины x . Если x заменим на y , получим дисперсию y. Максимальное значение коэффициента корреляции не больше 1:

|r(x,y)|=1, отражает степень стохастической (вероятностной) линейной связи. Если в разных точках x несколько раз проводить опыт, то чем ближе экспериментальные точки расположены относительно линии, тем больше абсолютное значение R. Для практических использований применяют:

- средняя сила связи;

- сильная связь

- очень сильная связь

Если все точки попадают на прямую, то это линейная связь. Коэффициент корреляции характеризуется линейной связью.

Виды корреляции

1. истинная корреляция (данные, по которым мы строили коэффициент корреляции, теоретически обоснованы);

2. косвенная корреляция ( когда используемые данные x,y отражают косвенную взаимосвязь между величинами);

3. ложная (когда пользователь необдуманно строит выражение для коэффициента корреляции).

Множественная корреляция

Часто приходиться оценивать одной случайной величины с другими величинами, входящими в систему.

Поскольку используются пары, то берем одну случайную величину и все оставшиеся, это множественная корреляция. Нужно построить корреляционную матрицу:

По главной диагонали расположены 1, а все остальные величины меньше 1.

Коэффициент множественной корреляции:

r1(2,3k)=

Если имеем дело с 2-мя случайными величинами, r<0, с возрастанием 1-ой случайной величины, 2-ая убывает.

Парциальный коэффициент корреляции

Степень связи между 2-мя случайными величинами при исключении влияния оставшихся.

Чтобы оценить систему, состоящую из n случайных величин, нужно знать коэффициент мат. ожидания и коэффициент дисперсии, к(к-1)-парных коэффициентов корреляции.

Некоторые примеры систем случайных величин.

, формируем систему случайных величин.

Частным случаем является распределение Максвелла.

t- случайная величина, которая конструирует,

z- случайная величина, распределенная по нормальному закону,

- случайная величина Стьюдента или t- распределения

F- случайная величина по распределению Фишера

Предполагается, что есть 2 выборки.

Проводится предположение о том, что дисперсии

одинаковы.

Распределение зависит от 2-х степеней свободы.

Функция от случайной величины

X Y y= (x)

x- вход есть случайная величина, y тоже будет случайной величиной.

Как определить распределение y.

1. Предположим, что -монотонно-возрастающая функцияy=(x)

y

(x) - функция распределения случайной величины y.

Реализация случайной величины yбудет меньше.

a x b x

Поскольку нужно выразить случайную величину y, то нужно уточнить, x выразить через y.

и подставить выражение

Нам нужно найти производную.

Чтобы найти плотность распределения выходной случайной величины, нужно знать значение входной случайной величины.